Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 20:18, 27 lut 2019

Liczba przeciwna do danej liczby $a,$ to taka liczba $-a,$ że zachodzi:

a+(-a)=0,

gdzie $0$ jest elementem zerowym działania dodawania.

Przykład:

liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba −3.

W szczególności:

liczbą przeciwną do zera jest zero,
liczbą przeciwną do przeciwnej do $x$ jest liczba $x.$

W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.

W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.

Uogólnienie na grupy uporządkowane

Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.

Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy $\leqslant$ spełniający^[1]^[2]

a\leqslant b\implies (a+c\leqslant b+c\land c+a\leqslant c+b),

to

elementy dla których $a\leqslant 0,$ nazywamy niedodatnimi,
elementy dla których $0\leqslant a,$ nazywamy nieujemnymi,
elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi,
elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi,

Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).

Wówczas, jak łatwo sprawdzić:

element przeciwny do dodatniego jest ujemny,
element przeciwny do ujemnego jest dodatni.

Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.

Zobacz też

Przypisy

↑ PlanetMath: ordered group.
↑ Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres [online], books.google.com [dostęp 2017-11-24] .

[1] PlanetMath: ordered group.

[2] Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres [online], books.google.com [dostęp 2017-11-24] .

[1]

[2]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi:
+'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,</math> to taka liczba <math>-a,</math> że zachodzi:
-: <math>a+(-a)=0\;</math>
+: <math>a+(-a)=0,</math>
-gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].
+gdzie <math>0</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].
 Przykład:
-* liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3
+* liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba −3.
 W szczególności:
-* liczbą przeciwną do zera jest zero.
+* liczbą przeciwną do zera jest zero,
-* liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''.
+* liczbą przeciwną do przeciwnej do <math>x</math> jest liczba <math>x.</math>
 W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
-W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].
+W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[Moc zbioru|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].
 == Uogólnienie na grupy uporządkowane ==
 Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
-Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/OrderedGroup.html PlanetMath: ordered group<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->]</ref><ref>{{Cytuj | url=http://books.google.com/books?id=Nmj7LtsOT0sC&pg=PA9&dq=%22ordered+group%22&lr= | tytuł=Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=books.google.com | data dostępu=2017-11-24}}</ref>
+Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/OrderedGroup.html PlanetMath: ordered group<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->].</ref><ref>{{Cytuj |url=http://books.google.com/books?id=Nmj7LtsOT0sC&pg=PA9&dq=%22ordered+group%22&lr= |tytuł=Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> |opublikowany=books.google.com |data dostępu=2017-11-24}}</ref>
-: <math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \land c + a \leqslant c + b)</math>
+: <math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \land c + a \leqslant c + b),</math>
 to
-* elementy dla których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi
+* elementy dla których <math>a \leqslant 0,</math> nazywamy niedodatnimi,
-* elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy nieujemnymi
+* elementy dla których <math>0 \leqslant a,</math> nazywamy nieujemnymi,
-* elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
+* elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi,
-* elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi
+* elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi,
 Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
 Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
-* element przeciwny do dodatniego jest ujemny
+* element przeciwny do dodatniego jest ujemny,
-* element przeciwny do ujemnego jest dodatni
+* element przeciwny do ujemnego jest dodatni.
-Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
+Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[Arytmetyka modularna|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
 == Zobacz też ==
 * [[arytmetyka]]
-* [[liczba odwrotna]]
 * [[liczba]]
+* [[liczba odwrotna]]
 == Przypisy ==