Stała Catalana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stała Catalana to stała matematyczna, oznaczana jako K, pojawiająca się w oszacowaniach z dziedziny kombinatoryki. Jej definicja jest następująca:

K = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + ...

lub równoważnie

K = -\int\limits_{0}^{\ 1} \frac{\ln(t)}{1 + t^2} \mbox{ d} t


Jej przybliżona wartość to

K = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ... (ciąg A006752 w OEIS)

Nie jest wiadome czy K jest liczbą wymierną czy niewymierną.

Stała została nazwana na cześć matematyka belgijskiego, Eugène Charlesa Catalana.

Szybko zbieżne formuły do numerycznego obliczania stałej K[edytuj | edytuj kod]

K = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\tfrac{1}{2(8n+2)^2}
+\tfrac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\tfrac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\tfrac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\tfrac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\tfrac{1}{2(8n+1)^2}
\right) -

2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\tfrac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\tfrac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\tfrac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\tfrac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\tfrac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\tfrac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)

oraz

K = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]