Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Carathéodory’egotwierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miarę Lebesgue’a z miary zewnętrznej Lebesgue’a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory’ego w 1914 roku[1].

Twierdzenie[edytuj]

Niech X będzie niepustym zbiorem oraz

będzie funkcją, dla której

,

gdzie P(X) oznacza zbiór potęgowy zbioru X.

Mówi się, że zbiór AX spełnia warunek Carathéodory’ego (względem μ*), gdy dla każdego zbioru EX zachodzi równość

Wówczas rodzina C(μ*) podzbiorów X, które spełniają warunek Carathéodory’ego względem μ*, jest algebrą zbiorów, a μ będąca zawężeniem μ* do C(μ*) jest miarą skończenie addytywną (tzn. jest addytywna). Co więcej, jeśli μ* jest miarą zewnętrzną (tzn. jest również monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna), to C(μ*) jest σ-algebrą oraz μ* zawężona do rodziny C(μ*) jest miarą (tzn. jest przeliczalnie addytywna), która jest zupełna.

Dowód[edytuj]

Dowód składający się z pięciu części jest standardową techniką, szeroko stosowaną w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż C(μ*) jest algebrą, zaś μ jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż μ* jest miarą zewnętrzną – że rodzina C(μ*) jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a μ* jest σ-addytywna, tzn. C(μ*) jest σ-algebrą, a μ określoną na niej miarą. Ostatni krok stanowi o zupełności miary μ.

Algebra[edytuj]

Należenie zbioru pustego
Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory’ego, ponieważ z założenia μ*(∅) = 0 oraz
dla każdego E zawartego w X.
Zamkniętość ze względu na dopełnienia
Spełnianie warunku Carathéodory’ego jest symetryczne ze względu na dopełnienia, tzn. jeśli A spełnia warunek Carathéodory’ego, to również Ac spełnia warunek Carathéodory’ego. Wynika stąd, że rodzina C(μ*) jest zamknięta ze względu na branie dopełnień.
Zamkniętość ze względu na sumy skończone
Disjoint union.png
Niech A oraz B należą do C(μ*) oraz E będzie dowolnym podzbiorem X. Zachodzą równości
oraz
Z tożsamości EA = E ∩ (AB) ∩ A oraz EAcB = E ∩ (AB) ∩ Ac oraz założenia, że A spełnia warunek Carathéodory’ego wynika, iż
skąd
Dowodzi to, że AB spełnia warunek Carathéodory’ego, a zatem należy do C(μ*).

Addytywność zawężenia[edytuj]

Dla danych zbiorów rozłącznych A i B należących do C(μ*) zachodzi równość

Pokazuje to, że zawężenie μ* do rodziny C(μ*) jest addytywną funkcją zbiorów.

σ-algebra[edytuj]

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Niech (Ai) będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do C(μ*) oraz niech E będzie dowolnym podzbiorem zbioru X. Niech ponadto

oraz

Ponieważ każdy ze zbiorów Bn, jako skończna suma zbiorów z C(μ*), spełnia warunek Carathéodory’ego, więc

Dla każdego n zachodzi inkluzja BnB, skąd BncBc. Z monotoniczności μ* wynika więc, że

Z warunku Carathéodory’ego spełnianego przez An wynika, iż

co na mocy indukcji zapewnia, że

Ostatecznie,

Ponieważ wzór ten zachodzi dla wszystkich n, więc z przeliczalnej podaddytywności μ* wynika, że

skąd

a stąd

Miara[edytuj]

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Niech (Ai) będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do C(μ*). Niech podnato B będzie takie jak wcześniej, tj. B jest sumą wszystkich zbiorów Ai. Z addytywności i monotoniczności μ* wynika, że dla dowolnego n zachodzi równość

a więc w granicy

Przeliczalna podaddytywność μ* daje nierówność w drugą stronę, skąd ostatecznie wypływa wniosek

Zupełność[edytuj]

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Należy wykazać, że każdy podzbiór A zbioru X spełniający warunek μ*(A) = 0 należy do C(μ*). Niech E będzie dowolnym podzbiorem zbioru X. Wówczas

Niech Z będzie podzbiorem zbioru X spełniającym warunek μ*(Z) = 0 oraz niech A będzie dowolnym podzbiorem zbioru Z. Z monotoniczności μ* wynika, że 0 ≤ μ*(A) ≤ μ*(Z) = 0, a więc μ*(A) = 0. Ostatecznie, A należy do rodziny C(μ*).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. C. Carathéodory, Über das lineare Mass von Punktmengen, eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs. Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen (1914) 404–426.

Bibliografia[edytuj]