Twierdzenie Fejéra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Fejéra – twierdzenie analizy harmonicznej, mówiące, że ciąg tzw. sum Fejéra rzeczywistej funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue'a, okresowej, o okresie 2π i ciągłej jest do niej zbieżny jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska węgierskiego matematyka, Lipóta Fejéra.

Pojęcia wstępne[edytuj]

Jeśli jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, to ciąg dany wzorem

nazywamy transformatą Fouriera funkcji , natomiast ciąg dany wzorem

dla

nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji . Jeżeli jest -tym jądrem Dirichleta oraz , to

.

Jeśli ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji , to ciąg dany wzorem

dla

nazywamy ciągiem sum Fejéra funkcji .

Twierdzenie Fejéra[edytuj]

Jeżeli jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie , to ciąg jej sum Fejéra jest do niej jednostajnie zbieżny.

Uwagi o dowodzie[edytuj]

Powyższe twierdzenie można udowodnić korzystając z faktów:

W wypowiedzi twierdzenia zamiast całkowalności ma być oczywiście ciągłość!!! (natomiast z należenia do przestrzeni L^p wynika zbieżność σ_n do f w normie tejże przestrzeni dla 1≤p<∞)

Zastosowania[edytuj]

  • Jeżeli jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie , oraz sum częściowych szeregu Fouriera funkcji w punkcie jest zbieżny do , to funkcja daje się przedstawić w postaci swojego szeregu Fouriera:
,

gdzie oznaczają wzory Eulera-Fouriera dla funkcji .

Korzystając z kryterium Weierstrassa oraz powyższego wnoisku można udowodnić następujące twierdzenie:

  • Jeżeli jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie oraz szereg
,

to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Innym wnioskiem z twierdzenia Fejéra jest następujący fakt:

  • Jeżeli jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie oraz jest funkcją klasy C1, to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Twierdzenia Fejéra używa się także w dowodzie zupełności układu trygonometrycznego, tzn. twierdzenia mówiącego, że jeśli funkcja jest całkowalna z kwadratem, to

.

Bibliografia[edytuj]