Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza – twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Reguła Leibniza

Wersja I – analiza klasyczna

Niech $f(x,y)$ będzie funkcją $f\colon [a,b]\times [c,d]\ni (x,y)\mapsto \mathbb {R}$ załóżmy, że $f$ jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową $f'_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}$ na całej swojej dziedzinie.

Dla $y\in (c,d)$ określmy $I(y)=\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x.$ Wówczas funkcja $I(y)$ jest różniczkowalna oraz dla każdego $y\in (c,d)$ spełniony jest wzór:

I'(y)=\int \limits _{a}^{b}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x.

Ogólniej, zakładając że dla każdego $y$ funkcja jest ciągła na przedziale $[a(x),b(x)],$ gdzie funkcje $a,b$ są ciągle różniczkowalne, mamy:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int \limits _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)\mathrm {d} x=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y).

Wersja II – teoria miary

Niech $X$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb {R} ,$ oraz $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że $f\colon X\times \Omega \mapsto \mathbb {R}$ spełnia poniższe warunki:

(1) $f(x,\omega )$ jest dla każdego $x\in X$ funkcją całkowalną względem $\omega .$

(2) Dla każdego $x\in X$ pochodna $f_{x}$ istnieje $\mu$ -p.w.

(3) Istnieje całkowalna funkcja $\theta \colon \Omega \mapsto \mathbb {R}$ dla której $|f_{x}(x,\omega )|\leqslant \theta (\omega )\quad \forall x\in X.$

Wtedy dla każdego $x\in X$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{\Omega }\,f(x,\omega )\mu \{\mathrm {d} \omega \}=\int _{\Omega }\,f_{x}(x,\omega )\mu \{\mathrm {d} \omega \}.

Dowód

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

{\frac {I(y+h)-I(y)}{h}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x,y+h)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx}{h}}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx,

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

I'(y)=\lim _{h\to 0}{\frac {I(y+h)-I(y)}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx.

W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.

Wersja I

Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w $\mathbb {R} ^{n}$ jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu $(a_{n})\to 0$ zachodzi zbieżność punktowa $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}$ dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:

\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}\,dx=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\,dx.

Co na mocy dowolności ciągu $(a_{n})$ oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz $a(y),b(y)$ ciągle różniczkowalne.

{\begin{aligned}I_{h}&={\frac {1}{h}}\left(\int _{a(y+h)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&={\frac {1}{h}}\left(\int _{b(y)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y+h)}^{a(y)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&=\int _{a(y)}^{b(y)}\,{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx+{\frac {1}{h}}\left([b(y+h)-b(y)]f(\xi _{1}^{h},y+h)-[a(y+h)-a(y)]f(\xi _{2}^{h},y+h)\right),\end{aligned}}

gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej $\xi _{1}^{h}\in [b(y),b(y+h)]\;\xi _{2}^{h}\in [a(y),a(y+h)].$ Zatem biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:

{\begin{aligned}\lim _{h\to 0}I_{h}&=\lim _{h\to 0}\int _{a(y)}^{b(y)}\,{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx+f(b(y),y)\lim _{h\to 0}{\frac {b(y+h)-b(y)}{h}}-f(a(y),y)\lim _{h\to 0}{\frac {[a(y+h)-a(y)}{h}}\\&=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y).\end{aligned}}

Przy czym z ciągłości f mamy $\xi _{1}^{h}\to b(x)\;\xi _{2}^{h}\to a(x).$

Wersja II

Korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:

I'(y)=\int _{a}^{b}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\,dx.

Zobacz też

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.