Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
James Gregory (1638–1675)

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – twierdzenie mówiące o tym, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.

Prawdopodobnie twierdzenie to znał już nauczyciel Isaaca Newtona, Isaac Barrow (16301677). Pierwszy znany dowód przypisywany jest szkockiemu matematykowi Jamesowi Gregory’emu (16381675).

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, całkowalną w sensie Riemanna w przedziale Wówczas:

(1) Funkcja jest całkowalna na każdym przedziale dla i odwzorowanie dane wzorem

jest ciągłe w przedziale Jeżeli ponadto jest ciągła w pewnym punkcie to funkcja jest różniczkowalna w oraz

(2) Jeżeli jest funkcją ciągłą na i różniczkowalną na oraz

dla każdego

to

innymi słowy, zachodzi wzór na całkę Leibnitza-Newtona

oprócz tego na

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Dowód[edytuj | edytuj kod]

(1) Wykażemy, że jeśli jest ciągła na to funkcja dana wzorem

jest różniczkowalna w każdym punkcie odcinka Niech i będą tak dobrane, by leżały w przedziale Wówczas

i

Odejmując stronami, otrzymujemy

Z własności całki oznaczonej wynika, że

skąd mamy natychmiast

Na mocy twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego istnieje takie, że

Stąd

a po podzieleniu obu stron przez

Jak widać, wyrażenie to jest ilorazem różnicowym funkcji w punkcie Przechodząc po obu stronach do granicy z otrzymujemy

Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji w punkcie

Ponieważ jasne jest, że gdy to W konsekwencji,

Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie Stąd

i dowód jest zakończony.

Powyższy dowód pokazuje różniczkowalność funkcji w punkcie o ile funkcja podcałkowa jest ciągła przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu Bez tego założenia nie możemy powoływać się na twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. Dowód w pełnej ogólności może być przeprowadzony przy użyciu definicji całki Riemanna i sum Riemanna.

(2) Zauważmy najpierw, że jeśli wiemy że funkcja jest ciągła, to możemy zastosować pierwszą część twierdzenia. Ale w ogólnym przypadku funkcja może być nieciągła w wielu punktach i nie mamy podstaw aby twierdzić że funkcja jest wszędzie różniczkowalna. Przeprowadzimy więc dowód, odwołując się bezpośrednio do definicji całki Riemanna.

Wykażemy, że (co wystarczy, bo możemy zastąpić przez dowolny ).

Niech Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi odcinka taki że dla każdego podziału rozdrabniającego mamy

Następnie wybierzmy podział rozdrabniający i taki, że oznaczając

oraz

mamy

(a) oraz
(b) jeśli to

Wybór podziału jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać (dla ) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy że jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z twierdzenia Lagrange’a. Następnie zauważmy, że

Stąd widzimy, że

Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby zachodzi nierówność Stąd wnioskujemy, że co należało udowodnić.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli funkcja określona jest w przedziale [-1,1] wzorem:

to mimo iż jest ona nieciągła w punkcie 0, funkcja

ma pochodną w punkcie 0, lecz jest ona równa 1.

  • Oblicz pochodną funkcji

Na mocy twierdzenia podstawowego mamy natychmiast co można również sprawdzić bezpośrednio, wyliczając całkę oznaczoną.

  • Oblicz pochodną funkcji

Zauważmy, że gdzie a a zatem z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy

Ponieważ na mocy twierdzenia podstawowego otrzymujemy

co również można sprawdzić, obliczając explicite całkę definiującą

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie podstawowe prawdziwe jest bez zmian również, gdy założymy całkowalność funkcji w sensie Lebesgue’a.

Lebesgue udowodnił kilka faktów będących wzmocnieniem omawianego twierdzenia. Mianowicie, jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale to jej pierwotna ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą Na odwrót, jeżeli funkcja jest różniczkowalna w przedziale a jej pochodna jest ograniczona w przedziale to jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i prawdziwy jest wzór:

Istnieje też wersja twierdzenia dla funkcji zmiennej zespolonej: jeżeli jest otwartym podzbiorem zbioru liczb zespolonych, a jest funkcją, która ma holomorficzną funkcję pierwotną na to dla dowolnej krzywej całka krzywoliniowa

W końcu, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego można uogólnić także na całki krzywoliniowe i powierzchniowe na rozmaitościach. Najdalej idącym twierdzeniem w tym kierunku jest twierdzenie Stokesa.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. XVI. Warszawa: 1979, s. 288–290.
  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. trzecie. T. 2. Warszawa: PWN, 1965, s. 99–100.