Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego w 1825 roku. Cauchy wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Mimo dużego znaczenia, tej teorii w analizie zespolonej, Cauchy nie widział w niej nic wyjątkowego. Dlatego praca z 1825 roku, nie była przez niego cytowana aż do roku 1851. Cytowanie swoich prac było jego częstym zabiegiem.

Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).

Twierdzenie

Niech $D\subseteq \mathbb {C}$ będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej $\mathbb {C}$ ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą $C,$ ponadto $f\colon U\to \mathbb {C}$ oznacza funkcję analityczną na obszarze $U,$ dla którego $D\cup C\subseteq U.$ Wówczas

$\oint \limits _{C}f(z)\;\mathrm {d} z=0.$

Wnioski

• Jeśli funkcja $f(z)$ jest analityczna w obszarze jednospójnym $D$ oraz $a,b\in D,$ to dla każdych kawałkami gładkich krzywych $C_{1},C_{2}$ łączących $a$ z $b$ mamy

$\int _{C_{1}}f(z)\;dz=\int _{C_{2}}f(z)\;dz.$

Zatem możemy zdefiniować całkę

$\int _{a}^{b}f(z)\;dz$

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

• Dla $D,f,a$ jak powyżej określmy funkcję $\Phi :D\longrightarrow \mathbb {C}$ przez

$\Phi (z)=\int _{a}^{z}f(\zeta )\;d\zeta .$

Wówczas funkcja $\Phi$ jest analityczna oraz $\Phi '(z)=f(z).$

• Niech $f(z)$ będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym $D$ z wyjątkiem punktów $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ oraz niech $C\subset D$ będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią $r>0,$ taką że okręgi $K(z_{i},r)$ o środku w $z_{i}$ i promieniu $r$ (dla $i=1,\dots ,n$) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

$\oint \limits _{C^{+}}f(z)dz=\sum _{i=1}^{n}\oint \limits _{K(z_{i},r)}f(z)dz.$

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).

Zobacz też

• twierdzenie o residuach
• wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 89–95.
• Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 105–108, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.