Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy – działanie dwuargumentowe przyporządkowujące parze wektorów $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$ trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, w której zadana jest baza uporządkowana ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$:

• wektor zerowy, jeżeli wektory $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$ są liniowo zależne

bądź w przeciwnym przypadku, taki wektor $\gamma$$\gamma$, że:

• $\gamma$$\gamma$ jest prostopadły zarówno do $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$, tzn. $\gamma$$\gamma$ jest wektorem normalnym do płaszczyzny wyznaczonej przez $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$
• długość wektora $\gamma$$\gamma$ jest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektory $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$
• układ wektorów $\alpha ,\beta ,\gamma$$\alpha ,\beta ,\gamma$ jest zorientowany zgodnie z bazą ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$.

Iloczyn wektorowy $\gamma$$\gamma$ wektorów $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$ oznacza się symbolem $\alpha \times \beta$$\alpha \times \beta$.

Pojęcie iloczynu wektorowego w sposób istotny zależy od doboru bazy przestrzeni. W przypadku, gdy baza trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej nie jest sprecyzowana przyjmuje się za ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ bazę kanoniczną złożoną z wektorów

$i=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right],\;j=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right],\;k=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]$$i=\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right],\; j=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right],\;k=\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$.

Historia

W 1843 roku William Rowan Hamilton opisał kwaterniony za pomocą których współcześnie niekiedy opisuje się iloczyn wektorowy. Niezależnie, w tym samym okresie, tj. w roku 1844, Hermann Günther Grassmann zdefiniował tzw. „iloczyn geometryczny” bez odwoływania się jawnie do operacji „mnożenia” wektorów.

Grassman, zainspirowany pracami Hamiltona, publikuje drugą wersję swojego traktatu, która okazuje się znacznie przystępniejsza; również Hamilton wyraża się pochlebnie po zapoznaniu się z nią. W dalszej kolejności, James Clerk Maxwell używa teorii kwaternionów w fizyce, zaś William Kingdon Clifford pod wpływem prac Grassmanna i Hamiltona, z wyraźnym wskazaniem na pierwszego z nich, formalizuje dziedzinę nazywaną dziś analizą wektorową. Opierając się na powstałej teorii, w tym na pracach Clifforda i Maxwella, Josiah Willard Gibbs wydaje w 1881 roku Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics. Choć fizycy szybko przyjęli formalizm Gibbsa, to do matematyki znajduje on drogę znacznie później i dopiero po kilku modyfikacjach; o początkowej niechęci matematyków mogą świadczyć słowa Petera Guthriego Taita z jego przedmowy do trzeciego wydania swojego traktatu o kwaternionach, w której nazywa on nowy formalizm Gibbsa „pewnego rodzaju hermafrodytycznym potworem zestawionym z notacji Hamiltona i Grassmanna”.

Znak a orientacja

Znajdowanie zwrotu iloczynu wektorowego za pomocą reguły prawej dłoni.

W dowolnej przestrzeni kartezjańskiej można wyróżnić dwa rodzaje baz uporządkowanych: zgodnych z bazą standardową i z nią niezgodnych. Baza uporządkowana przestrzeni kartezjańskiej jest zorientowana dodatnio jeżeli ma tę samą orientację co baza kanoniczna, tzn. wyznacznik macierzy przejścia od tej bazy do bazy kanonicznej jest dodatni. O bazach, które nie są zorientowane dodatnio mówi się, że są zorientowane ujemnie.

W ten sposób w przestrzeni jednowymiarowej można wybrać jeden wektor, który będzie tworzył bazę zorientowaną dodatnio lub ujemnie; w przestrzeni dwuwymiarowej dowolny niezerowy wektor można uzupełnić do bazy dodatnio lub ujemnie zorientowanej, podobnie ma się rzecz dla pary (liniowo niezależnych) wektorów uzupełnianej o wektor w przestrzeni trójwymiarowej – można to uczynić na dwa sposoby uzyskując układ wektorów zgodny z bazą standardową lub do niej przeciwny.

Iloczyn wektorowy, tak jak iloczyn skalarny, zależy od metryki przestrzeni euklidesowej, ale w przeciwieństwie do niego zależy również od wyboru orientacji lub „skrętności” tej przestrzeni. Wybór bazy standardowej w powyższej definicji oznacza ustalenie dodatniej (prawoskrętnej) orientacji przestrzeni, która do wyznaczania zwrotu iloczynu wektorowego wymaga użycia reguły prawej dłoni (reguły śruby prawoskrętnej); w przestrzeni o orientacji ujemnej (lewoskrętnej) należy korzystać z reguły lewej dłoni (reguły śruby lewoskrętnej).

Ustalenie orientacji może sprawiać problemy przy zmianie układu (np. odbicie prawoskrętnego układu współrzędnych w lewoskrętny), gdyż zwrot $\scriptstyle \mathbf {n}$$\scriptstyle \mathbf n$ powinien być zachowany – trudność tę można rozwiązać przyjmując, że w ogólnym przypadku iloczyn wektorowy nie jest (prawdziwym) wektorem, lecz pseudowektorem (zob. uogólnienia).

Własności

Iloczyn wektorowy jest

• antyprzemienny,

$\alpha \times \beta =-\beta \times \alpha ,$$\alpha \times \beta = -\beta \times \alpha,$

• rozdzielny względem dodawania,

$\alpha \times (\beta +\gamma )=(\alpha \times \beta )+(\alpha \times \gamma ),$$\alpha \times (\beta + \gamma) = (\alpha \times \beta) + (\alpha \times \gamma),$

• zgodny z mnożeniem przez skalar,

$(r\alpha )\times \beta =\alpha \times (r\beta )=r(\alpha \times \beta )$$(r \alpha) \times \beta = \alpha \times (r \beta) = r(\alpha \times \beta)$

Ponadto iloczyn wektorowy spełnia tzw. tożsamość Jacobiego:

$\alpha \times (\beta \times \gamma )+\beta \times (\gamma \times \alpha )+\gamma \times (\alpha \times \beta )=0.$$\alpha \times (\beta \times \gamma )+\beta \times (\gamma \times \alpha )+\gamma \times (\alpha \times \beta )=0.$

Iloczyn wektorowy nie ma własności skracania: tzn. jeśli

$\alpha \times \beta =\alpha \times \gamma$$\alpha \times \beta =\alpha \times \gamma$,

gdzie $\alpha$$\alpha$ jest wektorem niezerowym, to na ogół $\beta$$\beta$ ≠ $\gamma$$\gamma$. Istotnie, jeżeli

$(\alpha \times \beta )-(\alpha \times \gamma )=0$$(\alpha \times \beta )-(\alpha \times \gamma )=0$,

to z prawa rozdzielności wynika, że

$\alpha \times (\beta -\gamma )=0$$\alpha \times (\beta -\gamma )=0$.

Powyższa równość zachodzi np. gdy wektor $\alpha$$\alpha$ jest równoległy do $\beta -\gamma$$\beta - \gamma$ oraz $\beta$$\beta$ ≠ $\gamma$$\gamma$. Jeśli jednak równości $\alpha$$\alpha$ · $\beta =\alpha$$\beta = \alpha$ · $\gamma$$\gamma$ oraz $\alpha$$\alpha$ × $\beta =\alpha$$\beta = \alpha$ × $\gamma$$\gamma$ zachodzą równocześnie, to wektory $\beta$$\beta$ i $\gamma$$\gamma$ są równe. Istotnie, $\alpha$$\alpha$ · $(\beta -\gamma )=0$$(\beta - \gamma) = 0$ oraz $\alpha$$\alpha$ × $(\beta -\gamma )=0,$$(\beta - \gamma) = 0,$, a więc $\beta -\gamma$$\beta - \gamma$ jest jednocześnie równoległy i prostopadły do niezerowego wektora $\alpha$$\alpha$, co jest możliwe tylko wtedy, gdy $\beta -\gamma =0.$$\beta -\gamma =0.$

Obliczanie

Zapis we współrzędnych

Wektory jednostkowe $\scriptstyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$$\scriptstyle \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ danego ortogonalnego układu współrzędnych spełniają poniższe równości:

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} ,\quad \qquad \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} ,\quad \qquad \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} .$$\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k, \quad\qquad \mathbf j \times \mathbf k = \mathbf i, \quad\qquad \mathbf k \times \mathbf i = \mathbf j.$

Wspomniane trzy równości wystarczają wraz z antysymetrycznością i dwuliniowością do wyznaczenia iloczynu wektorowego dowolnych dwóch wektorów; w szczególności zachodzą także równości:

$\mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j}$$\mathbf j \times \mathbf i = -\mathbf k, \qquad \mathbf k \times \mathbf j = -\mathbf i, \qquad \mathbf i \times \mathbf k = -\mathbf j$

oraz

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} .$$\mathbf i \times \mathbf i = \mathbf j \times \mathbf j = \mathbf k \times \mathbf k = \mathbf 0.$

Korzystając z powyższych reguł można obliczyć współrzędne iloczynu wektorowego dwóch wektorów bez potrzeby wyznaczania kątów; niech

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} =(a_{1},a_{2},a_{3})$$\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k = (a_1, a_2, a_3)$

oraz

$\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} =(b_{1},b_{2},b_{3}).$$\mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k = (b_1, b_2, b_3).$

Iloczyn wektorowy powyższych wektorów można obliczyć korzystając z rozdzielności względem dodawania tego działania:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )=\\&=a_{1}\mathbf {i} \times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )+a_{2}\mathbf {j} \times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )+a_{3}\mathbf {k} \times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )=\\&=(a_{1}\mathbf {i} \times b_{1}\mathbf {i} )+(a_{1}\mathbf {i} \times b_{2}\mathbf {j} )+(a_{1}\mathbf {i} \times b_{3}\mathbf {k} )+(a_{2}\mathbf {j} \times b_{1}\mathbf {i} )+(a_{2}\mathbf {j} \times b_{2}\mathbf {j} )+\\&\quad +(a_{2}\mathbf {j} \times b_{3}\mathbf {k} )+(a_{3}\mathbf {k} \times b_{1}\mathbf {i} )+(a_{3}\mathbf {k} \times b_{2}\mathbf {j} )+(a_{3}\mathbf {k} \times b_{3}\mathbf {k} ),\end{aligned}}$$\begin{align} \mathbf a \times \mathbf b & = (a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k) \times (b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k) = \\ & = a_1 \mathbf i \times (b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k) + a_2 \mathbf j \times (b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k) + a_3 \mathbf k \times (b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k) = \\ & = (a_1 \mathbf i \times b_1 \mathbf i) + (a_1 \mathbf i \times b_2 \mathbf j) + (a_1 \mathbf i \times b_3 \mathbf k) + (a_2 \mathbf j \times b_1 \mathbf i) + (a_2 \mathbf j \times b_2 \mathbf j) + \\ & \quad + (a_2 \mathbf j \times b_3 \mathbf k) + (a_3 \mathbf k \times b_1 \mathbf i) + (a_3 \mathbf k \times b_2 \mathbf j) + (a_3 \mathbf k \times b_3 \mathbf k),\end{align}$

a ponieważ mnożenie przez skalar jest przemienne z mnożeniem wektorów, to

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+a_{2}b_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+\\&\quad +a_{2}b_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+a_{3}b_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} ),\end{aligned}}$$\begin{align} \mathbf a \times \mathbf b & = a_1 b_1 (\mathbf i \times \mathbf i) + a_1 b_2 (\mathbf i \times \mathbf j) + a_1 b_3 (\mathbf i \times \mathbf k) + a_2 b_1 (\mathbf j \times \mathbf i) + a_2 b_2 (\mathbf j \times \mathbf j) + \\ & \quad + a_2 b_3 (\mathbf j \times \mathbf k) + a_3 b_1 (\mathbf k \times \mathbf i) + a_3 b_2 (\mathbf k \times \mathbf j) + a_3 b_3 (\mathbf k \times \mathbf k), \end{align}$

czyli zgodnie z powyższymi regułami

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} +a_{1}b_{3}(-\mathbf {j} )+a_{2}b_{1}(-\mathbf {k} )+a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{3}b_{2}(-\mathbf {i} )+a_{3}b_{3}\mathbf {0} ,$$\mathbf a \times \mathbf b = a_1 b_1 \mathbf 0 + a_1 b_2 \mathbf k + a_1 b_3 (-\mathbf j) + a_2 b_1 (-\mathbf k) + a_2 b_2 \mathbf 0 + a_2 b_3 \mathbf i + a_3 b_1 \mathbf j + a_3 b_2 (-\mathbf i) + a_3 b_3 \mathbf 0,$

a więc ostatecznie po wyłączeniu wspólnych wyrazów jest

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).$$\mathbf a \times \mathbf b = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \mathbf i + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \mathbf j + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \mathbf k = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1).$

Mnemotechniki

Zgodnie z interpretacją geometryczną definicję iloczynu wektorowego można przedstawić również jako wyznacznik macierzy formalnej:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}.$$\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.$

Wyznacznik ten można obliczyć za pomocą reguły Sarrusa,

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =a_{1}b_{2}\mathbf {k} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} -a_{3}b_{2}\mathbf {i} -a_{1}b_{3}\mathbf {j} -a_{2}b_{1}\mathbf {k} ,$$\mathbf a \times \mathbf b = a_1 b_2 \mathbf k + a_2 b_3 \mathbf i + a_3 b_1 \mathbf j - a_3 b_2 \mathbf i - a_1 b_3 \mathbf j - a_2 b_1 \mathbf k,$

lub rozwinięcia Laplace’a

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} ,$$\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \mathbf i - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \mathbf j + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \mathbf k,$

co w obu przypadkach daje składowe wektora wynikowego.

Reprezentacja macierzowa

Niech symbol $\scriptstyle [\mathbf {a} ]_{\times }$$\scriptstyle [\mathbf a]_\times$ oznacza macierz antysymetryczną

${\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{bmatrix}}.$$\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}.$

Wówczas iloczyn wektorowy można przedstawić jako mnożenie macierzy przez wektor (działanie endomorfizmu na wektorze),

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} =[\mathbf {b} ]_{\times }^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ,$$\mathbf a \times \mathbf b = [\mathbf a]_\times \mathbf b = [\mathbf b]^\mathrm T_\times \mathbf a,$

gdzie $\scriptstyle \mathbf {M} ^{\mathrm {T} }$$\scriptstyle \mathbf M^\mathrm T$ oznacza macierz transponowaną do $\scriptstyle \mathbf {M} .$$\scriptstyle \mathbf M.$ Ponadto jeśli wektor $\scriptstyle \mathbf {a}$$\scriptstyle\mathbf a$ sam jest iloczynem wektorowym,

$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ,$$\mathbf a = \mathbf c \times \mathbf d,$

to

$[\mathbf {a} ]_{\times }=(\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.$$[\mathbf a]_\times = (\mathbf c \mathbf d^\mathrm T)^\mathrm T - \mathbf c \mathbf d^\mathrm T.$

Z ogólnych własności iloczynu wektorowego wynika natychmiast, że

$[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {a} =\mathbf {0}$$[\mathbf a]_\times \mathbf a = \mathbf 0$ oraz $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} ,$$\mathbf a^\mathrm T [\mathbf a]_\times = \mathbf 0,$

zaś z antysymetryczności $\scriptstyle [\mathbf {a} ]_{\times }$$\scriptstyle [\mathbf {a} ]_{\times }$ jest

$\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} =0.$$\mathbf b^\mathrm T [\mathbf a]_\times \mathbf b = 0.$

Notacja indeksowa

Iloczyn wektorowy

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {c}$$\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf c$

można przedstawić zwięźle za pomocą symbolu Leviego-Civity, $\scriptstyle \varepsilon _{ijk},$$\scriptstyle \varepsilon_{ijk},$ jako

$c_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},$$c_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k,$

gdzie, jak wyżej, indeksy $\scriptstyle i,j,k$$\scriptstyle i, j, k$ odpowiadają ortogonalnym składowym wektorów. Ta charakteryzacja często przedstawiana jest w jeszcze bardziej zwarty sposób w konwencji sumacyjnej Einsteina jako

$c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.$$c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k.$

Reprezentacja ta jest jeszcze jedną postacią antysymetrycznej reprezentacji iloczynu wektorowego:

$\varepsilon _{ijk}a_{j}=[\mathbf {a} ]_{\times }.$$\varepsilon_{ijk} a_j = [\mathbf a]_\times.$

Wzór Lagrange’a

Ponieważ iloczyn wektorowy nie jest przemienny, to w ogólności

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} .$$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) \ne (\mathbf a \times \mathbf b) \times \mathbf c.$

Podwójnym iloczynem wektorowym nazywa się się iloczyn wektorowy

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} :=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),$$\mathbf a \times \mathbf b \times \mathbf c := \mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c),$

choć w ogólności zwykle nie korzysta się z notacji beznawiasowej w celu uniknięcia nieporozumień. Z własności iloczynu wektorowego zachodzą równości:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {a} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} .$$(\mathbf a \times \mathbf b) \times \mathbf c = -\mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b) = -(\mathbf b \cdot \mathbf c) \mathbf a + (\mathbf a \cdot\mathbf c) \mathbf b.$

Ponadto prawdziwy jest wzór Lagrange’a, który łączy podwójny iloczyn wektorowy z iloczynem skalarnym:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).$$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b(\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c(\mathbf a \cdot \mathbf b).$

Dowód

Pierwsza składowa $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c)$ jest dana jako

$a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})=b_{1}(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})-c_{1}(a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}),$$a_2(b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3(b_3 c_1 - b_1 c_3) = b_1(a_2 c_2 + a_3 c_3) - c_1(a_2 b_2 + a_3 b_3),$

dodając i odejmując $\scriptstyle a_{1}b_{1}c_{1}$$\scriptstyle a_1 b_1 c_1$ otrzymuje się

$b_{1}(a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})-c_{1}(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})=b_{1}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{1}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).$$b_1(a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) - c_1 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) = b_1(\mathbf a \cdot \mathbf c) - c_1(\mathbf a \cdot \mathbf b).$

Podobnie kolejne składowe:

$b_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$$b_2(\mathbf a \cdot \mathbf c) - c_2 (\mathbf a \cdot \mathbf b)$ oraz $b_{3}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{3}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).$$b_3(\mathbf a \cdot \mathbf c) - c_3(\mathbf a \cdot \mathbf b).$

Z ich połączenia wynika teza.

W celu zapamiętania prawej strony równania stosuje się zabiegi mnemotechniczne „bac minus cab”. Wzór Lagrange’a wykorzystuje się często w fizyce przy upraszczaniu wyrażeń wektorowych. W przypadku gradientów, istotnym w analizie wektorowej, wzór ten przyjmuje postać

${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\mathrm {grad} (\mathrm {div} \;\mathbf {f} )-\Delta \mathbf {f} .\end{aligned}}$$\begin{align} \nabla \times (\nabla \times \mathbf f) & = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf f \\ & = \mathrm{grad}(\mathrm{div}\; \mathbf f) - \Delta \mathbf f. \end{align}$

Jest to zarazem przypadek szczególny ogólniejszego operatora Laplace’a-de Rhama $\scriptstyle \Delta =d\delta +\delta d.$$\scriptstyle\Delta = d \delta + \delta d.$

Iloczyn mieszany

Rys 1. Pole równoległoboku jako iloczyn wektorowy.

Rys 2. Objętość równoległościanu wyznaczona za pomocą iloczynów skalarnego i wektorowego; linie przerywane pokazują rzuty $\scriptstyle \mathbf {c}$$\scriptstyle \mathbf c$ na $\scriptstyle \mathbf {a} \times \mathbf {b}$$\scriptstyle \mathbf a \times \mathbf b$ oraz $\scriptstyle \mathbf {a}$$\scriptstyle \mathbf a$ na $\scriptstyle \mathbf {b} \times \mathbf {c}$$\scriptstyle \mathbf b \times \mathbf c$ w pierwszym kroku znajdowania iloczynów skalarnych.

Długość iloczynu wektorowego wektorów $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$, to z określenia pole powierzchni równoległoboku o bokach będących tymi wektorami (zob. rys. 1). Z pomocą iloczynu wektorowego definiuje się iloczyn mieszany trójki wektorów $\alpha ,\beta ,\gamma$$\alpha ,\beta ,\gamma$ wzorem

$(\alpha ,\beta ,\gamma )=\alpha \cdot (\beta \times \gamma )$$(\alpha ,\beta ,\gamma )=\alpha \cdot (\beta \times \gamma )$.

W szczególności, zachodzi wzór

$(\alpha \times \beta )\cdot \gamma =\alpha \cdot (\beta \times \gamma )$$(\alpha \times \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \times \gamma)$.

Iloczyn mieszany trójki wektorów jest równy objętości równoległościanu o bokach będących danymi wektorami (zob rys. 2).

Związki z iloczynem skalarnym

Iloczyny wektorowy i skalarny są ze sobą związane równością

$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$$|\mathbf a \times \mathbf b|^2 = |\mathbf a|^2 |\mathbf b|^2 - (\mathbf a \cdot \mathbf b)^2.$

Prawa strona tej równości to wyznacznik Grama wektorów $\scriptstyle \mathbf {a}$$\scriptstyle \mathbf a$ oraz $\scriptstyle \mathbf {b} ,$$\scriptstyle \mathbf b,$, czyli kwadrat pola równoległoboku wyznaczanego przez te wektory (to spostrzeżenie znajduje zastosowanie w uogólnieniu przedstawionym w sekcji algebra wieloliniowa). Warunek ten opisuje długość iloczynu tych wektorów; wraz z wymaganiem ortogonalności iloczynu wektorowego do swoich czynników $\scriptstyle \mathbf {a}$$\scriptstyle \mathbf a$ i $\scriptstyle \mathbf {b}$$\scriptstyle \mathbf {b}$ umożliwia on podanie alternatywnej definicji iloczynu wektorowego: korzystając z własności iloczynu skalarnego można wyrazić długość za pomocą kąta,

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}},$$\cos \theta = \frac{\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf a| |\mathbf b|},$

co z powyższą tożsamością daje

$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).$$|\mathbf a \times \mathbf b|^2 = |\mathbf a|^2 |\mathbf b|^2 \left(1 - \cos^2 \theta \right).$

Zgodnie z regułą jedynki trygonometrycznej zachodzi równość

$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta ,$$|\mathbf a \times \mathbf b| = |\mathbf a| |\mathbf b| \sin \theta,$

która była punktem wyjścia dla długości iloczynu wektorowego w interpretacji geometrycznej.

Tożsamość daną wzorem

$\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}\!\!(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2},$$\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \!\!(a_i b_j - a_j b_i)^2 = |\mathbf a|^2 |\mathbf b|^2 - (\mathbf a \cdot \mathbf b)^2,$

gdzie $\scriptstyle \mathbf {a}$$\scriptstyle \mathbf a$ i $\scriptstyle \mathbf {b}$$\scriptstyle \mathbf {b}$ mogą być wektorami $\scriptstyle n$$\scriptstyle n$-wymiarowymi nazywa się tożsamością Lagrange’a. W przypadku $\scriptstyle n=3$$\scriptstyle n = 3$ umożliwia ona wyrażenie długości iloczynu wektorowego za pomocą jego składowych:

$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\!\!\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 3}\!\!(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}.$$|\mathbf a \times \mathbf b|^2 = \!\!\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 3}\!\! (a_i b_j - a_j b_i)^2 = (a_1 b_2 - b_1 a_2)^2 + (a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2.$

Ten sam wynik uzyskuje się bezpośrednio korzystając ze składowych iloczynu wektorowego otrzymanych ze wzoru wyznacznikowego. Równanie Lagrange’a w $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3}$ jest przypadkiem szczególnym multyplikatywności $\scriptstyle |\mathbf {vw} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |$$\scriptstyle |\mathbf{vw}| = |\mathbf v| |\mathbf w|$ normy algebry kwaternionów (zob. kwaterniony).

Jest to zarazem przypadek szczególny innego wzoru, również nazywanego niekiedy tożsamością Lagrange’a, będącego trójwymiarowym przypadkiem tożsamości Bineta-Cauchy’ego:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).$$(\mathbf a \times \mathbf b) \cdot (\mathbf c \times \mathbf d) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)(\mathbf b \cdot \mathbf d) - (\mathbf a \cdot \mathbf d)(\mathbf b \cdot \mathbf c).$

Jeśli $\scriptstyle \mathbf {a} =\mathbf {c}$$\scriptstyle \mathbf a = \mathbf c$ oraz $\scriptstyle \mathbf {b} =\mathbf {d} ,$$\scriptstyle \mathbf b = \mathbf d,$ to wyrażenie to upraszcza się do powyższego.

Istnieje również własność łącząca iloczyn wektorowy z iloczynem mieszanym:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )={\Big (}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ){\Big )}\mathbf {a} .$$(\mathbf a \times \mathbf b) \times (\mathbf a \times \mathbf c) = \Big(\mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c)\Big) \mathbf a.$

Uogólnienia

Algebry Liego

Grupa ortogonalna $\scriptstyle \mathrm {O} (3)$$\scriptstyle \mathrm{O}(3)$ to podgrupa grupy euklidesowej $\scriptstyle \mathrm {E} (3),$$\scriptstyle \mathrm{E}(3),$, czyli grupy izometrii przestrzeni $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3},$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3},$ która zawiera wyłącznie izometrie zachowujące początek. Podgrupa $\scriptstyle \mathrm {SO} (3)$$\scriptstyle \mathrm{SO}(3)$ grupy $\scriptstyle \mathrm {O} (3)$$\scriptstyle \mathrm{O}(3)$ zawiera z kolei zaś tylko te izometrie zachowujące początek, które dodatkowo nie zmieniają orientacji przestrzeni – jest to grupa symetrii (trójwymiarowej) sfery i wszystkich obiektów o symetrii sferycznej względem środka tej sfery.

Iloczyn wektorowy jest jednym z prostszych nawiasów Liego, tzn. dwuargumentowych działań spełniających aksjomaty wieloliniowości, antysymetryczności i tożsamość Jacobiego; przestrzenie liniowe wyposażone w nawiasy Liego nazywa się algebrami Liego, które bada dział matematyki nazywany teorią Liego. Innym przykładem algebry Liego na $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3}$ jest algebra Heisenberga, w której nawias Liego opisany jest za pomocą zależności $\scriptstyle [\mathbf {i} ,\mathbf {j} ]=\mathbf {k}$$\scriptstyle [\mathbf i, \mathbf j] = \mathbf k$ oraz $\scriptstyle [\mathbf {i} ,\mathbf {k} ]=[\mathbf {j} ,\mathbf {k} ]=0.$$\scriptstyle [\mathbf i, \mathbf k] = [\mathbf j, \mathbf k] = 0.$

Przedstawione wyżej własności opisują iloczyn wektorowy jako nieparzyste (antysymetryczne) przekształcenie dwuliniowe, które jako działanie nie jest ani łączne, ani przemienne. Przestrzeń liniowa wyposażona w iloczyn wektorowy tworzy więc nieprzemienną, niełączną algebrę nad ciałem, która jest algebrą Liego $\scriptstyle {\mathfrak {so}}(3)$$\scriptstyle \mathfrak{so}(3)$ rzeczywistej grupy ortogonalnej w trzech wymiarach, SO(3), z iloczynem wektorowym pełniącym rolę nawiasu Liego – pominięcie struktury afinicznej $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3}$ oznacza wybór podalgebry $\scriptstyle {\mathfrak {o}}(3),$$\scriptstyle \mathfrak o(3),$ w której zachowywany jest początek (brak przesunięć), z kolei ustalenie orientacji (brak odbić) oznacza dalsze zawężenie do podalgebry $\scriptstyle {\mathfrak {so}}(3),$$\scriptstyle \mathfrak{so}(3),$ związanych odpowiednio z podgrupami grupy izometrii $\scriptstyle \mathrm {O} (3)$$\scriptstyle \mathrm{O}(3)$ oraz $\scriptstyle \mathrm {SO} (3).$$\scriptstyle \mathrm{SO}(3).$ Ograniczenie to jest równoważne z wymaganiem, by endomorfizmy tej przestrzeni zachowywały iloczyn skalarny.

Dla danego elementu $\scriptstyle \mathbf {a}$$\scriptstyle \mathbf a$ algebry Liego $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3}$ działanie dołączone elementu $\scriptstyle \mathbf {a}$$\scriptstyle \mathbf a$ na $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3}$ definiuje się jako endomorfizm (liniowy) $\scriptstyle \mathrm {ad} _{\mathbf {a} }\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle \mathrm{ad}_\mathbf a\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ dany wzorem

$\mathrm {ad} _{\mathbf {a} }(\mathbf {b} )=[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ]=\mathbf {a} \times \mathbf {b}$$\mathrm{ad}_\mathbf a(\mathbf b) = [\mathbf a, \mathbf b] = \mathbf a \times \mathbf b$

dla dowolnego $\scriptstyle \mathbf {b}$$\scriptstyle \mathbf {b}$ z przestrzeni $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}.$$\scriptstyle \mathbb R^3.$ Endomorfizmy przestrzeni $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3}$ można utożsamiać z macierzami stopnia 3, przy czym zawężenie działania $\scriptstyle \mathrm {ad} _{\mathbf {a} }$$\scriptstyle \mathrm{ad}_\mathbf a$ do $\scriptstyle {\mathfrak {so}}(3)$$\scriptstyle \mathfrak{so}(3)$ odpowiada zawężeniu klasy macierzy do macierzy antysymetrycznych. Tłumaczy to istnienie wzajemnie jednoznacznego odwzorowania między mnożeniem wektorowym przez ustalony wektor $\scriptstyle \mathbf {a} ,$$\scriptstyle \mathbf a,$ a zbiorem macierzy antysymetrycznych stopnia 3 opisanych w sekcji reprezentacja macierzowa.

Kwaterniony i oktoniony

Iloczyn wektorowy można opisać za pomocą kwaternionów. Wektory jednostkowe $\scriptstyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$$\scriptstyle \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ odpowiadają obrotom o 180° względem odpowiednich osi, tzn. obrotom reprezentowanym przez kwaterniony czyste (tzn. z zerową częścią skalarną) o normach jednostkowych.

W ten sposób zależności między $\scriptstyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$$\scriptstyle \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ w iloczynie skalarnym zgadzają się z multyplikatywnymi zależnościami między kwaternionami $\scriptstyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} .$$\scriptstyle \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k.$ Ogólniej, niech wektorowi postaci $\scriptstyle (a_{1},a_{2},a_{3})$$\scriptstyle (a_1, a_2, a_3)$ odpowiada kwaternion $\scriptstyle a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ,$$\scriptstyle a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k,$ wtedy iloczyn wektorowy odpowiada wzięciu części nierzeczywistej iloczynu kwaternionów; część rzeczywista to ujemny iloczyn skalarny dwóch wektorów. Utożsamiając kwaterniony czyste z $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$$\scriptstyle {\mathbb R}^{3}$ można myśleć o iloczynie wektorowym jak o połowie komutatora dwóch kwaternionów, co opisano również dalej.

Konstrukcję iloczynu przeprowadzoną z użyciem orientacji i struktury metrycznej (poprzez niejawne wykorzystanie funkcji trygonometrycznych bądź iloczynu skalarnego, zob. sekcja definicja) dla trzech wymiarów można powtórzyć dla $\scriptstyle n$$\scriptstyle n$ wymiarów tak, by biorąc iloczyn $\scriptstyle n-1$$\scriptstyle n-1$ wektorów uzyskać wektor prostopadły do nich wszystkich. Jeśli jednak iloczyn ma być nietrywialnym iloczynem dwuargumentowym dającym w wyniku wektory, to można ją wykonać wyłącznie w trzech i siedmiu wymiarach. Wynika to z faktu iż jedynymi unormowanymi algebrami z dzieleniem są te o wymiarach 1, 2, 4 oraz 8, o czym mówi twierdzenie Hurwitza. Iloczyn wektorów siedmiowymiarowych jest tym samym związany z oktonionami w podobny sposób do tego, jak iloczyn wektorów trójwymiarowych jest związany z kwaternionami.

Bibliografia

• Bronsztejn I.N., Siemiendiawjew K.A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa 1996.