Zbiór Vitalego

Zbiór Vitalego – podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a. Konstrukcję zbioru (wymagającą założenia aksjomatu wyboru) podał Giuseppe Vitali w 1905 i pokazał, że nie istnieje dla tego zbioru miara Lebesgue’a – miara, która jest niezmiennicza na przesunięcia, przyjmująca niezerowe i skończone wartości na przedziałach $[a,b]$ i określona na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Konstrukcja

Niech $\lambda$ oznacza miarę Lebesgue’a w zbiorze liczb rzeczywistych. W przedziale [0,1] można określić relację $\sim$ w następujący sposób:

$x\sim y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x-y$ jest liczbą wymierną.

Relacja ~ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1]. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie zbioru $V,$ który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy zbiór o takiej własności nazywany jest zbiorem Vitalego.

Jeśli $V$ jest zbiorem Vitalego, to:

• różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, skąd
• $(V+q)\cap (V+q')=\varnothing$ dla każdych dwóch różnych liczb wymiernych $q,\,q'.$

Oznacza to, że rodzina

${\mathcal {V}}=\{V+q\colon q\in [-1,1]\cap \mathbb {Q} \}$

jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby $V$ był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci $V+q$ byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że $\bigcup {\mathcal {V}}$ jest zbiorem mierzalnym oraz

$1\leqslant \lambda {\Big (}\bigcup {\mathcal {V}}{\Big )}\leqslant 3$

ponieważ

$[0,1]\subseteq \bigcup {\mathcal {V}}\subseteq [-1,2].$

$V$ nie może być więc miary zero, bo wówczas

$\lambda {\Big (}\bigcup {\mathcal {V}}{\Big )}=0,$

$V$ nie może być również zbiorem miary dodatniej, bo wówczas

$\lambda {\Big (}\bigcup {\mathcal {V}}{\Big )}=\infty ,$

co w sumie prowadzi do sprzeczności.

Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue’a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu „konstrukcja zbioru Vitalego” w znaczeniu „definicja takich zbiorów”.

Zobacz też

• paradoks Banacha-Tarskiego
• zbiór Bernsteina

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 323–324. ISBN 978-83-01-15232-1.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 118–119.