Przestrzeń słabo ciągowo zupełna

Przestrzeń słabo ciągowo zupełna – przestrzeń Banacha E o tej własności, że każdy słaby ciąg Cauchy'ego (x_n) punktów tej przestrzeni jest zbieżny w sensie słabej topologii (ciąg (x_n) punktów przestrzeni E jest słabym ciągiem Cauchy'ego, gdy dla każdego funkcjonału liniowego i ciągłego f na E ciąg wartości (f(x_n)) jest zbieżny w ciele skalarów).

Przykłady

• Domknięta podprzestrzeń przestrzeni słabo ciągowo zupełnej jest słabo ciągowo zupełna.
• Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna.

Dowód. Niech (x_n) będzie słabym ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni refleksywnej X. W szczególności, zbiór wyrazów tego ciągu jest ograniczony w normie (por. twierdzenie Banacha-Steinhausa), tj. istnieje taka stała dodatnia M, że ||x_n|| ≤ M dla każdego n. Ponieważ przestrzeń X jest refleksywna, z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kula domknięta B(0,M) w przestrzeni X o środku w zerze i promieniu M jest słabo zwarta. Ciąg (x_n), którego wyrazy zawarte są w B(0,M), ma punkt skupienia x (w słabej topologii), należący do B(0,M). Ponieważ dla każdego funkcjonału f ∈ X* granica lim f(x_n) istnieje, więc f(x) jest punktem skupienia ciągu skalarów (f(x_n)). Ostatecznie, f(x) = lim f(x_n). Dowodzi to tego, że X jest przestrzenią słabo ciągowo zupełną. □

• Dla dowolnej miary μ, przestrzeń L₁(μ) jest słabo ciągowo zupełna (jest to twierdzenie Steinhausa).
• Każda przestrzeń o własności Schura jest słabo ciągowo zupełna (zob. dowód).
• Przestrzeń Banacha, której przestrzenią sprzężoną jest algebra von Neumanna jest słabo ciągowo zupełna. W szczególności, przestrzeń sprzężona do C*-algebry jest słabo ciągowo zupełna.
• Przestrzeń c₀ nie jest słabo ciągowo zupełna. Jeżeli (e_n) oznacza jej kanoniczną bazę Schaudera, to ciąg (e₁+ ... + e_n) jest słabym ciągiem Cauchy'ego, który nie jest słabo zbieżny. W szczególności, jeżeli K jest nieskończoną przestrzenią zwartą, to przestrzeń C(K) nie jest słabo ciągowo zupełna, bo zawiera podprzestrzeń izomorficzną z c₀.
• Krata Banacha jest słabo ciągowo zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej z c₀.
• Druga przestrzeń sprzężona przestrzeni słabo ciągowo zupełnej nie musi być słabo ciągowo zupełna - stosownym kontrprzykładem jest ℓ₁-suma n-wymiarowych przestrzeni euklidesowych z normą maksimum, tj.

$\textstyle {E=\left(\bigoplus _{n=1}^{\infty }\ell _{\infty }^{n}\right)_{\ell _{1}}.}$

(gdyż E** zawiera podprzestrzeń izomorficzną z ℓ_∞).

Bibliografia

1. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.brak strony w książce
2. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Springer 1996, ss. 31, 34-37 ISBN 3-540-60628-9.