Kula

Definicja intuicyjna:
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)

Kula w danej przestrzeni metrycznej $(X,\rho)\,$ jest zbiorem elementów tej przestrzeni, zdefiniowanym jako

$\bar{K} _{\bar{o},r} = \{ \bar{p}: \rho(\bar{p},\bar{o}) \leqslant r \}$

dla pewnych $\bar{o}\in X,\ r>0,\,$ które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

Informacja ogólna

Kula w przestrzeni euklidesowej

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne (x,y,z) spełniają nierówność:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\leqslant r^2,$

gdzie (x₀,y₀,z₀) są współrzędnymi środka kuli, a $r\,$ oznacza jej promień.

W $n\,$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ i promieniu $r\,$ to zbiór punktów $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n),$ których współrzędne spełniają nierówność:

$(x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\ldots+(x_n-s_n)^2\leqslant r^2.$

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Kula o środku P(2; 1,5) i promieniu r=1 w metryce miejskiej na zbiorze $\Bbb{R}^2$.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni $\Bbb{R}^2$ o metryce miejskiej do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

$\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right| \leqslant r.$

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór {G, H, I} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H.

Związane pojęcia

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej - zobacz Średnica zbioru.

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej

• Objętość n-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu r dana jest wzorem $V_{n}=\frac { \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}\cdot r^{n} = \begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot r^n & \mbox{dla }n=2k, \\[2ex] \displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over n!!}\cdot r^n & \mbox{dla } n=2k-1, \end{cases}$

• "Pole" (n−1)-wymiarowe jej (hiper)powierzchni $S_n = \frac n r \, V_n.$
• Objętość 3-wymiarowej kuli: $V=\frac{4}{3}\pi r^3 \approx 4{,}19\ r^3.$
• Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: $S=4\pi r^2 \approx 12{,}6\ r^2.$

W powyższych wzorach $\pi \approx 3{,}14159265$ jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś $\Gamma\,$ oznacza funkcję gamma.

Uwaga: Brzegiem n-wymiarowej kuli jest (n−1)-wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też

• Sfera
• Hiperkula
• Czasza kuli (odcinek kuli)
• Warstwa kulista
• Wycinek kuli
• Kula ziemska