Baza Schaudera

Baza Schaudera - w analizie funkcjonalnej - ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów przestrzeni Banacha X o tej własności, że dla każdego elementu x przestrzeni X istnieje dokładnie jeden ciąg skalarów $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ taki, że

$x=\sum_{n=1}^\infty a_nx_n$,

przy czym powyższy szereg zbieżny jest w sensie normy przestrzeni X (mocna zbieżność). Nie każda przestrzeń Banacha ma bazę Schaudera - Per Enflo podał przykład ośrodkowej przestrzeni Banacha, która nie ma bazy Schaudera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska polskiego matematyka, Juliusza Schaudera.

Własności

Niech X będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Jeżeli $x=\sum a_nx_n$, to funkcjonał

$\||x\||=\sup\left\{\sum_{k=1}^n \|a_k x_k \|\colon\, n\in \mathbb{N}\right\}$

jest normą oraz $\|x\|\leq \||x\||$. Można udowodnić, że norma ta jest zupełna oraz, na mocy twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, równoważna wyjściowej normie przestrzeni X .

Kryterium na to by ciąg był bazą Schaudera: Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Ciąg $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ punktów p. X jest bazą Schaudera wtedy i tylko wtedy, gdy

1. $x_n\neq 0,\, n\in \mathbb{N}$,
2. $\mbox{cl lin}\{x_n\colon\, n\in \mathbb{N}\}=X$,
3. istnieje liczba $K>0$ taka, że dla każdego ciągu skalarów $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ oraz dla każdych liczb naturalnych n i m takich, że n<m:

$\left\|\sum_{k=1}^n a_k x_k \right\|\leqslant K\left\|\sum_{k=1}^m a_k x_k\right\|$.

Każda przestrzeń Banacha z bazą Schaudera jest ośrodkowa, przy czym ośrodkiem jest zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów bazy Schaudera o współczynnikach wymiernych.

Przykłady

• Ciąg $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$, gdzie $e_n(n)=1$ oraz $e_n(m)=0$ dla m≠ n jest bazą Schaudera przestrzeni c₀ oraz l^p dla 1 ≤ p < ∞. Ciąg $(e_n)_{n=0,1,2,\ldots}$, gdzie $e_0=(1,1,1,\ldots)$, stanowi bazę Schaudera przestrzeni c.
• Jeżeli X jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to jej baza ortonormalna jest również jej bazą Schaudera.
• Twierdzenie Schaudera: Układ Haara jest bazą Schaudera przestrzeni $L^p(0,1)$ dla 1 ≤ p < ∞.
• Twierdzenie Schaudera: Układ Schaudera w przedziale [a, b] stanowi bazę Schaudera przestrzeni C[a,b].

Układy biortogonalne

Niech X będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Dla każdej liczby naturalnej n, funkcjonał liniowy $x_n^*$ określony wzorem

$x_n^* \sum_{n=1}^\infty a_nx_n=a_n$

jest ograniczony (ciągły). Dokładniej, $x_n^*$ spełniają warunek $x_n^*x_m=\delta_{nm}$ (zob. symbol Kroneckera). Ciąg funkcjonałów tej postaci, tzn. ciąg $(x_n^*)_{n\in \mathbb{N}}$ nazywany jest ciągiem biortogonalnym (stowarzyszonym z bazą $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$). Układ $((x_n, x_n^*))_{n\in \mathbb{N}}$ jest układem biortogonalnym w przestrzeni $X$. Układy tego rodzaju znajdują szerokie zastosowanie w teorii przestrzeni Banacha.

Bibliografia

• Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Springer 1996, ISBN 3540606289.
• Musielak J. Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, ss. 125-131