Baza Schaudera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Baza Schaudera - w analizie funkcjonalnej - ciąg (xn) elementów przestrzeni Banacha X o tej własności, że dla każdego elementu x przestrzeni X istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów (an), że

x=\sum_{n=1}^\infty a_nx_n,

przy czym powyższy szereg zbieżny jest w sensie normy przestrzeni X (mocna zbieżność). Nie każda przestrzeń Banacha ma bazę Schaudera - Per Enflo podał przykład ośrodkowej przestrzeni Banacha, która nie ma bazy Schaudera[1]. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska polskiego matematyka, Juliusza Schaudera, który podał konstrukcję bazy przestrzeni C[0,1] funkcji ciągłych na przedziale jednostkowym.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera (xn) n = 1, 2, 3, .... Jeżeli x=\textstyle\sum_{n=1}^\infty a_nx_n, to funkcjonał

\||x\||=\sup\left\{\sum_{k=1}^n \|a_k x_k \|\colon\, n\in \mathbb{N}\right\}

jest normą oraz \|x\|\leqslant |\!\|x|\!\|. Można udowodnić, że norma ta jest zupełna oraz, na mocy twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, równoważna wyjściowej normie przestrzeni X .

Kryterium Grünbauma[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią Banacha. Ciąg (xn) n = 1, 2, 3, ... punktów p. X jest bazą Schaudera wtedy i tylko wtedy, gdy

  1. x_n\neq 0,\, n\in \mathbb{N},
  2. \overline{\mbox{lin}}\{x_n\colon\, n\in \mathbb{N}\}=X,
  3. istnieje taka liczba K > 0, że dla każdego ciągu skalarów (an) n = 1, 2, 3, ... oraz dla każdych takich liczb naturalnych n i m, że n<m spełniona jest nierówność
\left\|\sum_{k=1}^n a_k x_k \right\|\leqslant K\left\|\sum_{k=1}^m a_k x_k\right\|.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Ciąg (en) n = 1, 2, 3, ..., gdzie en(n) = 1 oraz en(m) = 0 dla mn jest bazą Schaudera (nazywaną często bazą kanoniczną) dla przestrzeni c0, p oraz przestrzeni Jamesa Jp przy 1 ≤ p < ∞ (przestrzeń Jp jest izomorficzna z p wtedy i tylko wtedy, gdy p = 1). Ciąg (en) n = 0,1,2, ..., gdzie e0 = (1,1,1, ...), stanowi bazę Schaudera przestrzeni c.
  • Jeżeli X jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to jej baza ortonormalna jest również jej bazą Schaudera.
  • Twierdzenie Schaudera: Układ Haara jest bazą Schaudera przestrzeni Lp dla 1 ≤ p < ∞.
  • Twierdzenie Schaudera: Układ Schaudera w przedziale [a, b] stanowi bazę Schaudera przestrzeni C[a,b].

Rodzaje baz Schaudera[edytuj | edytuj kod]

Baz Schaudera mogą mieć dodatkowe własności, które w pewnym stopniu opisują geometrię rozważanej przestrzeni Banacha. Niech (en) będzie bazą Schaudera przestrzeni Banacha E. Baza ta jest nazywana

  • ściągającą (ang. shrinking), gdy układ funkcjonałów (en*) stowarzyszonych z tą bazą jest bazą Schaudera przestrzeni sprzężonej E*;
  • ograniczenie zupełną (ang. boundedly complete), gdy dla każdego ciągu skalarów (an), dla którego istnieje taka stała M >0, iż \| \textstyle\sum_{k=1}^n a_n\big\|<M dla każdej liczby naturalnej n szereg \textstyle\sum_{n=1}^\infty a_ne_n jest zbieżny w E.
  • bezwarunkową (ang. unconditional), gdy każdy szereg zbieżny \textstyle\sum_{n=1}^\infty a_ne_n jest bezwarunkowo zbieżny.

Każda przestrzeń Banacha mająca bazę ograniczenie zupełną jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną pewnej przestrzeni Banacha. Przykładami baz bezwarunkowych są kanoniczne bazy (en) przestrzeni c0 i ℓp (1 ≤ p < ∞ ). Jeżeli K jest taką zwartą przestrzenią metryczną, że C(K) nie jest izomorficzne z c0, to C(K) nie ma bazy bezwarunkowej.

Każda przestrzeń Banacha z bazą Schaudera jest ośrodkowa, przy czym ośrodkiem jest zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów bazy Schaudera o współczynnikach wymiernych.

W. B. Johnson i H. P. Rosenthal udowodnili, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha X zawiera taką podprzestrzeń Y, że przestrzeń ilorazowa X / Y ma bazę Schaudera[2].

Układy biortogonalne[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera (xn). Dla każdej liczby naturalnej n, funkcjonał liniowy xn* określony wzorem

\langle x_n^* , \sum_{n=1}^\infty a_nx_n\rangle=a_n

jest ograniczony (ciągły). Dokładniej, funkcjonały xn* spełniają warunek

\langle x_n^*, x_m\rangle=\delta_{nm}

(zob. symbol Kroneckera). Ciąg funkcjonałów tej postaci, tzn. ciąg (xn*) nazywany jest ciągiem biortogonalnym (stowarzyszonym z bazą (xn)). Układ (xn, xn*) jest układem biortogonalnym w przestrzeni X. Układy tego rodzaju znajdują szerokie zastosowanie głównie w teorii nieośrodkowych przestrzeni Banacha.

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • M. M. Day, Normed linear spaces, Springer-Verlag, 1962.
  • J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Springer 1996, ISBN 3540606289.
  • J. Musielak Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, ss. 125-131