Krzywizna krzywej

Wzory i definicje

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

$\kappa =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {|\Delta \varphi |}{\Delta S}}=\left|{\frac {d\varphi }{dS}}\right|.$

Natomiast krzywiznę ze znakiem:

$\kappa =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta S}}={\frac {d\varphi }{dS}},$

gdzie $\Delta \varphi$ jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a $\Delta S$ długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę $\kappa$ w punkcie $P(x_{0},y_{0})$ są następujące:

• Dla krzywej określonej funkcją $y=f(x)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa ={\frac {|y''_{0}|}{(1+{y'_{0}}^{2})^{3/2}}}.$

• Dla krzywej określonej parametrycznie $x=p(t),y=q(t)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa ={\frac {|y''_{0}x'_{0}-x''_{0}y'_{0}|}{({x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2})^{3/2}}}.$

• Dla krzywej określonej funkcją $r=f(\varphi )$ w układzie biegunowym:

$\kappa ={\frac {|{r_{0}}^{2}+2{r'_{0}}^{2}-r_{0}r''_{0}|}{({r_{0}}^{2}+{r'_{0}}^{2})^{3/2}}}.$

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie $P$ nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

$R={\frac {1}{\kappa }}.$

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie $P(x_{0},y_{0})$ nazywamy punkt $S(\xi ,\eta ),$ leżący na normalnej do krzywej w punkcie $P$ po stronie jej wklęsłości w odległości od $P$ równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie $P$ krzywej są następujące:

• Dla krzywej o równaniu $y=f(x){:}$

$\xi =x_{0}-y'_{0}{\frac {1+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}}},$

$\eta =y_{0}+{\frac {1+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}}}.$

• Dla krzywej o równaniach $x=p(t),y=q(t){:}$

$\xi =x_{0}-y'_{0}{\frac {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}x'_{0}-y'_{0}x''_{0}}},$

$\eta =y_{0}+x'_{0}{\frac {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}x'_{0}-y'_{0}x''_{0}}}.$

Dowód

Krzywizna krzywej $y=f(x)$ w punkcie $C=(x_{C},y_{C})$ jest równa granicy ilorazu kąta $\varphi$ pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach $C$ i $B=(x_{B},y_{B})$ a długością łuku $L$ między $C$ a $B,$ gdy $B\to C{:}$

$\kappa =\lim \limits _{B\to C}{\frac {\varphi }{L}}.$

Kąt $\varphi$ można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

$\varphi =\operatorname {arctg} (f'(x_{B}))-\operatorname {arctg} (f'(x_{C})).$

Natomiast długość łuku $L$ jako całkę oznaczoną:

$L=\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt.$

Wtedy, zważając na to, że $B\to C\iff x_{B}\to x_{C}{:}$

$\kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {\operatorname {arctg} (f'(x_{B})-\operatorname {arctg} (f'(x_{C}))}{\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt}}.$

Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym ${\frac {0}{0}},$ dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

$\kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {{\frac {d}{dx_{B}}}(\operatorname {arctg} (f'(x_{B}))-\operatorname {arctg} (f'(x_{C})))}{{\frac {d}{dx_{B}}}\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt}}.$

Pochodna ${\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} (x)$ jest równa ${\frac {1}{x^{2}+1}},$ natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, mamy:

$\kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {f''(x_{B})}{f'(x_{B})^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {f'(x_{B})^{2}+1}}}={\frac {f''(x_{C})}{(f'(x_{C})^{2}+1)^{1+1/2}}}.$

Dla funkcji uwikłanej $F(x,y)=0$ wystarczy zamienić $f'(x)$ na ${\frac {dy}{dx}}$ przez co wzór przyjmuje następującą postać:

$\kappa ={\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left(\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1\right)^{3/2}}}.$

Jest wtedy jednak zależny zarówno od $x,$ jak i $y.$

Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

Inny dowód

Krzywa dana w sposób jawny

Promień $\rho$ krzywizny krzywej

Dana jest krzywa płaska o równaniu $y=f(x)$ i ciągłych pochodnych $y(x)',y(x)''.$ Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty $P(x_{o},y_{o})$ i $Q(x_{1},y_{1}).$ Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami

$y-f(x_{o})=f'(x_{o})(x-x_{o}),\quad y-f(x_{1})=f'(x_{1})(x-x_{1}).$

(a)

Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach $P,\;Q,$ zwane normalnymi, otrzymamy, zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach (a)

$y-f(x_{o})=-{\frac {1}{f'(x_{o})}}(x-x_{o}),\quad y-f(x_{1})=-{\frac {1}{f'(x_{1})}}(x-x_{1}).$

(b)

Punkt $S_{1}(x_{s},y_{s}),$ w którym przecinają się te normalne, otrzymamy, rozwiązując układ równań (b)

$x_{s}=x_{o}-\lambda f'(x_{o}),$

$y_{s}=y_{o}+\lambda ,$

gdzie:

$\lambda ={\frac {x_{1}-x_{o}+[f(x_{1})-f(x_{o})]f'(x_{1})}{f'(x_{1})-f'(x_{o})}}.$

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez $x_{1}-x_{o}$ i po przejściu do granicy $x_{1}\to x_{o}$ (punkt $S_{1}(x_{s},y_{s})$ zmierza do punktu $S_{o}(x_{*},y_{*})$) otrzymujemy proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie $P$

$x^{*}=x_{o}-\lambda ^{*}f'(x_{o}),\quad y^{*}=y_{o}+\lambda ^{*},$

gdzie:

$\lambda ^{*}={\frac {1+[f'(x_{o})]^{2}}{f''(x_{o})}}.$

Promień krzywizny krzywej $\rho$ otrzymamy z równania

$\rho ^{2}=(x_{o}-x^{*})^{2}+(y_{o}-y^{*})^{2}=\left(\lambda ^{*}f'(x_{o})\right)^{2}+\lambda ^{*2}=\lambda ^{*2}\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)=$

$={\frac {\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)^{3}}{[f''(x_{o})]^{2}}}\qquad \longrightarrow \qquad \rho ={\frac {\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(x_{o})\right|}}.$

Krzywa opisana parametrycznie

Przez dwa punkty $P(x_{o},y_{o}),\;Q(x_{1},y_{1})$ krzywej opisanej równaniami $x=x(t),\;y=y(t)$ przechodzi sieczna dana równaniem

${\frac {y_{1}-y_{o}}{x_{1}-x_{o}}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}\quad {}$ lub $y=y_{o}={\frac {y_{1}-y_{o}}{x_{1}-x_{o}}}(x-x_{o}).$

Dzieląc licznik i mianownik przez $t-t_{o}$ i przechodząc do granicy $x_{1}\to x_{o},$ otrzymujemy

$y-y_{o}={\frac {{\dot {y}}_{o}}{{\dot {x}}_{o}}}(x-x_{o}),$

gdzie ${\dot {x}}_{o},\;{\dot {y}}_{o}$ są pochodnymi względem parametru $t$ liczonymi w punkcie $P.$

Przez punkty $P,\;Q$ poprowadzimy dwie normalne o równaniach

$y-y_{o}=-{\frac {{\dot {x}}_{o}}{{\dot {y}}_{o}}}(x-x_{o}),\qquad y-y_{1}=-{\frac {{\dot {x}}_{1}}{{\dot {y}}_{1}}}(x-x_{1}).$

Rozwiązaniem tych równań są współrzędne $x_{s},\;y_{s}$ punktu $S_{1},$ w którym przecinają się proste normalne

$x_{s}=x_{o}-\lambda {\dot {y}}_{o},\qquad y_{s}=y_{o}+\lambda {\dot {x}}_{o},$

gdzie:

$\lambda ={\frac {{\dot {x}}_{1}(x_{1}-x_{o})+{\dot {y}}_{1}(y_{1}-y_{o})}{{\dot {x}}_{o}({\dot {y}}_{1}-{\dot {y}}_{o})-{\dot {y}}_{o}({\dot {x}}_{1}-{\dot {x}}_{o})}}.$

Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez $t_{1}-t_{o}$ i po przejściu do granicy $t\to t_{o}$ otrzymujemy współrzędne środka $S_{o}$ krzywizny krzywej w jej punkcie $P$

$x^{*}=x_{o}-\lambda {\dot {y}}_{o},\qquad y^{*}=y_{o}+\lambda {\dot {x}}_{o},\qquad \lambda ={\frac {{\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}}{{\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o}}}.$

Promień krzywizny $\rho$ równy jest odległości punktów $P$ i $S_{o}$

$\rho ^{2}=(x^{*}-x_{o})^{2}+(y^{*}-y_{o})^{2}=\lambda ^{2}(y_{o}^{'2}+x_{o}^{'2}),$

$\rho ={\frac {({\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2})^{\frac {3}{2}}}{\left|{\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o}\right|}}.$

Krzywa jako funkcja uwikłana

Dana jest krzywa o równaniu $F(x,y)=0,$ gdzie $F(x,y)$ jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu $P(x_{o},y_{o}).$

Jeżeli $F_{y}(x_{o},y_{o})\neq 0,$ to w otoczeniu punktu $P$ można funkcji $F$ nadać postać $y=f(x),$ gdzie $f(x_{o})=y_{o}$ i mamy

$f^{'}(x)=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}},\qquad f^{''}(x)=-{\frac {F_{x}^{2}F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{y}^{2}F_{xx}}{F_{y}^{3}}}=-\,{\frac {\mathrm {Z} }{F_{y}^{3}}}.$

Równanie stycznej do krzywej $y-y_{o}=f^{'}(x_{o})(x-x_{o})$ przybiera teraz postać

$F_{x}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})+F_{y}(x_{o},y_{o})(y-y_{o}),$

a równania normalnych w punktach $P(x_{o},y_{o}),\,Q(x_{1},\,y_{1})$

$F_{y}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})-F_{x}(x_{o},y_{o})(y-y_{o}),$

$F_{y}(x_{1},y_{1})(x-x_{1})-F_{x}(x_{1},y_{1})(y-y_{1}).$

Po wprowadzeniu oznaczeń $F_{x}(x_{o},y_{o})=F_{xo},\;\;F_{y}(x_{o},y_{o})=F_{yo},\;\;F_{x}(x_{1},y_{1})=F_{x1},\;\;F_{y}(x_{1},y_{1})=F_{y1}$

rozwiązanie tych równań ma postać

$x=x_{o}-\lambda F_{ox},\qquad y=y_{o}-\lambda F_{oy},$

$\lambda ={\frac {F_{x1}(y_{1}-y_{o})-F_{y1}(x_{1}-x_{o})}{F_{yo}(F_{x1}-F_{xo})-F_{xo}(F_{y1}-F_{yo})}}.$

Po przejściu do granicy $Q\to P,$ otrzymujemy

$x^{*}=x_{o}-\lambda ^{*}F_{ox},\qquad y^{*}=y_{o}-\lambda ^{*}F_{oy},$

gdzie:

$\lambda ^{*}={\frac {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}{\mathrm {Z} }},\qquad \mathrm {Z} =F_{x}^{2}F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{y}^{2}F_{xx}.$

Promień krzywizny wyraża się wzorem

$\rho ^{2}=(x^{*}-x_{o})^{2}+(y^{*}-y_{o})^{2}=(\lambda ^{*}F_{x})^{2}+(\lambda ^{*}F_{y})^{2},$

$\rho ={\frac {(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}{|\mathrm {Z} |}}.$

Przykłady

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

$x(t)=A\sin(at+\delta ),\quad y(t)=B\sin(bt).$

Wartości poszczególnych pochodnych:

$x'(t)=Aa\cos(at+\delta ),$

$y'(t)=Bb\cos(bt),$

$x''(t)=-Aa^{2}\sin(at+\delta ),$

$y''(t)=-Bb^{2}\sin(bt).$

Krzywizna jako funkcja parametru $t{:}$

$\kappa (t)={\frac {-Bb^{2}\sin(bt)\cdot Aa\cos(at+\delta )+Aa^{2}\sin(at+\delta )\cdot Bb\cos(bt)}{\left(A^{2}a^{2}\cos ^{2}(at+\delta )+B^{2}b^{2}\cos ^{2}(bt)\right)^{3/2}}}.$

W szczególności dla okręgu $A=B=r,\quad a=b=1,\quad \delta ={\frac {\pi }{2}},$
krzywizna nie zależy od parametru $t{:}$

$\kappa (t)={\frac {-r\sin(t)\cdot (-r\sin(t))+r\cos(t)\cdot r\cos(t)}{\left(r^{2}\sin ^{2}(t)+r^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}={\frac {r^{2}}{r^{3}}}={\frac {1}{r}}.$

Natomiast dla elipsy $a=b=1,\quad \delta ={\frac {\pi }{2}},$
krzywizna zależy od parametru $t{:}$

$\kappa (t)={\frac {-B\sin(t)\cdot (-A\sin(t))+A\cos(t)\cdot B\cos(t)}{\left(A^{2}\sin ^{2}(t)+B^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}={\frac {AB}{\left(A^{2}\sin ^{2}(t)+B^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}.$

Uwaga

W ogólnym przypadku $A\neq B,\quad a\neq b,\quad \delta \in R$ krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie $t_{1},t_{2}\in R,$ dla których $x(t_{1})=x(t_{2}),\;\;y(t_{1})=y(t_{2})$).

Zobacz też

• ewoluta
• ewolwenta
• łuk zwykły
• wzory Freneta