Funkcja uwikłana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja uwikłanafunkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju y = f(x), ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako F(x, y) = 0[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y\; będą przestrzeniami unormowanymi, D\subseteq X\times Y oraz f\colon D\to Y będzie ciągła. Każdą funkcję \varphi\colon U\to Y, gdzie U\; jest pewnym podzbiorem X\;, spełniającą dla każdego x\in U równanie f(x,\varphi(x))=0\; nazywamy funkcją uwikłaną funkcji f\; albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie f(x,y)=0\;.

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania f(x,y)=0\; względem y\;.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta x\; tego punktu równa jest x = r \cdot ( t - \sin t ). Parametr t\; oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość t\; utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej x\; odpowiada innej chwili t\;. Można więc mówić o funkcji \varphi\;, która przypisuje każdej pozycji punktu x\; cykloidy wartość t\; – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji x\;. Funkcja \varphi nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci t = \varphi \left( x \right) jest to funkcja uwikłana przez równanie x = r \cdot ( t - \sin t ).
  • Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech U\; oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś I\; natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe I\;, zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: U=U_d+U_r\;. Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem U_r\; na oporniku i płynącym przezeń prądem  I,

{\color{white}-}I = \frac {U_r}{R} ,

gdzie R\; oznacza opór opornika.

Związek pomiędzy napięciem U_d\; panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:

{\color{white}-}I = I_S \cdot \left( e^{\frac{U_d}{c}} -1 \right),

w którym I_S, c\; – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś e\;podstawa logarytmu naturalnego.

Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:

{\color{white}-}U_r = I \cdot R,

{\color{white}-}U_d = c \cdot \ln \left( \frac {I}{I_S} + 1 \right)

To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem U\; przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu I

{\color{white}-}U = I \cdot R + c \cdot \ln \left( \frac{I}{I_S} + 1 \right) (\star).

Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie (\star).

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji y=\varphi(x), która jest określona w pewnym otoczeniu punktu x=x_0\;, spełnia w tym otoczeniu warunek f(x,\varphi(x))=0\; oraz \varphi(x_0)=y_0\;. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy x_0\; i y_0\; są tak dobrane, że f(x_0,y_0)=0\;. Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y\; będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli D\subseteq X\times Y jest zbiorem otwartym, a f\colon D\to Y funkcją klasy C_1\; i dla pewnego punktu (x_0,y_0)\in D

f(x_0,y_0)=0\; oraz pochodna cząstkowa \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y),

to istnieją liczby \delta>0\; i \eta>0\; oraz funkcja \varphi\colon k(x_0,\delta)\to k(y_0, \eta) klasy C_1\;, że

  1. k(x_0,\delta)\times k(y_0,\eta)\subseteq D,
  2. dla każdego punktu x\in k(x_0, \delta) jedynym punktem y\in k(y_0, \eta) spełniającym równanie f(x,y)=0\; jest punkt y=\varphi(x)\;.

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y\; będą przestrzeniami Banacha, D\subseteq X\times Y będzie zbiorem otwartym oraz f\colon D\to Y funkcją klasy C_1 taką, że różniczka cząstkowa \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y) dla każdego (x,y)\in D. Dalej niech dana będzie funkcja ciągła \psi\colon U\to Y, gdzie U jest podzbiorem otwartym przestrzeni X\;. Jeżeli dla każdego x\in U\;

(x,\psi(x))\in D oraz f(x,\psi(x))=0\;,

to \psi jest funkcją klasy C_1\; i dla każdego x\in U różniczka:

d \psi (x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,\psi(x))\right)^{-1}\circ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\psi(x)).

Funkcje rzeczywiste[edytuj | edytuj kod]

Niech D\subseteq \mathbb{R}^2 będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja f\colon D\to \mathbb{R} jest klasy C_1\; i dla pewnego punktu (x_0,y_0)\in D spełnia warunki:

f(x_0,y_0)=0\; oraz \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0,

to w pewnym otoczeniu punktu x_0\; istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła y=\varphi(x)\;, spełniająca warunki y_0=\varphi(x_0)\; oraz f(x,\varphi(x))=0\; dla x\; z tego otoczenia.

Ponadto, jeśli w otoczeniu punktu (x_0,y_0)\; istnieje ciągła pochodna cząstkowa \frac{\partial f}{\partial x}, to funkcja uwikłana y=\varphi(x) ma ciągłą pochodną daną wzorem

\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}.

Inne twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech  X,Y,Z \; będą przestrzeniami Banacha, U\subseteq X, V\subseteq Y będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli \varphi\colon U\to V, \psi\colon V\to Z są funkcjami klasy C_1\; takimi, że

  1. \varphi(0)=0, \psi(0)=0\;,
  2. \varphi\circ \psi\equiv 0,
  3. \operatorname{im}\;d\varphi(0)=\operatorname{ker}\;d\psi(0)
  4. \operatorname{im}\;d\psi(0) jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera W\subseteq V, że

\psi^{-1}(0)\cap W=\varphi(U)\cap W.

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  2. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
  3. Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, 627-643.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]