Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt $O$ zwany biegunem oraz półprostą $OS$ o początku w punkcie $O$ zwaną osią biegunową.

Definicja

Każdemu punktowi $P$ płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje:

• promień wodzący punktu $P$ to jego odległość $|OP|$ od bieguna,
• amplituda punktu $P$ to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą $OS$ a wektorem ${\overrightarrow {OP}}.$

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna $O$ są równe $(0,0).$ O amplitudzie możemy zakładać, że $0\leqslant \varphi <2\pi$ (niektórzy autorzy przyjmują $-\pi <\varphi \leqslant \pi$).

Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku.

• W XVII w. Cavalieri użył współrzędnych biegunowych, aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego pierwszym „obrotem” spirali Archimedesa.
• W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
• W 1658 Blaise Pascal używał układu biegunowego do wyznaczenia długości łuków krzywych.
• W 1661 James Gregory, szkocki matematyk, użył podobnej metody.
• Isaac Newton dyskutował różne układy współrzędnych, m.in. używał układu biegunowego.
• Jakoba Bernoulliego używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych. Uważa się go za twórcę biegunowego układu współrzędnych we współczesnej formie.

Według Juliana Coolidge’a (amerykański matematyk i historyk Uniwersytetu Harvarda) pierwszeństwo w stosowaniu układu biegunowego należy przyznać Cavalierierimu albo Saint-Vincentemu.

Związek z układem kartezjańskim

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański $OXY$ oraz układ biegunowy z biegunem $O$ i osią biegunową $OX.$

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego $r\geqslant 0$ i amplitudy $\varphi \in [0,2\pi )$ punktu $P,$ jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami:

${\begin{cases}x(r,\varphi )=r\cdot \cos \varphi ,\\y(r,\varphi )=r\cdot \sin \varphi .\end{cases}}$

Jakobian przejścia wynosi

${\frac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{matrix}}\right|$ $=r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.$

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego

Dla punktu $P$ o współrzędnych kartezjańskich $(x,y)$ promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Jeśli $r\neq 0$ i $x\neq 0,$ to z definicji funkcji tangens:

$\operatorname {tg} \,\varphi ={\tfrac {y}{x}}$,

zatem amplituda $\varphi$ tego punktu jest dana wzorem:

$\varphi =\operatorname {arctg} \;\left({\tfrac {y}{x}}\right)$

(o ile dopuszczamy ujemne wartości $\varphi$).

Natomiast aby otrzymać $0\leqslant \varphi <2\pi ,$ należy rozważyć następujące przypadki:

$\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}}),&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y\geqslant 0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+2\pi ,&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y<0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+\pi ,&{\mbox{gdy }}x<0\\{\tfrac {\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y>0\\{\tfrac {3\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y<0\end{cases}},$

gdzie $\operatorname {arctg}$ oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów $(-\pi ,\pi )$ można ten zapis uprościć do

$\varphi =\arccos \left({\tfrac {x}{r}}\right)\;\operatorname {sgn}(y),$

gdzie $\operatorname {sgn}$ oznacza funkcję signum.

Równania biegunowe krzywych algebraicznych

Krzywą algebraiczną nazywa się krzywą płaską, której równanie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest wielomianem $W(x,y)$

zmiennych $x,y.$ Stopniem krzywej algebraicznej – to maksymalny stopień wszystkich składników wielomianu postaci $x^{i}y^{j}.$

Równaniami biegunowymi krzywych nazywa się równania krzywych algebraicznych zapisane w układzie biegunowym. Dla wielu krzywych równania te cechuje szczególna symetria lub prostota.

Okrąg o równaniu $r(\varphi )=1$

Okrąg

Okrąg o środku w punkcie $(r_{0},\varphi _{0})$ i promieniu $a>0$ jest opisany przez równanie

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})+r_{0}^{2}=a^{2}.$

Okrąg jest krzywą algebraiczną 2-go stopnia. Gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, to równanie okręgu przybiera szczególnie prostą postać

$r=a.$

Róża

Róża o równaniu $r(\varphi )=2\sin(4\varphi )$

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

$r=a\cos(k\varphi +\varphi _{0}),$

gdzie $\varphi _{0}$ jest dowolną stałą, $a$ jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a $k$ jest parametrem wyznaczającym liczbę i formę „płatków” róży.

Jeśli $k$ jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała $k$ płatków, a jeśli $k$ jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała $2k$ płatków. Dla innych wartości $k$ kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu $r(\varphi )=\varphi$ dla $0<\varphi <6\pi$

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

$r=a+b\varphi .$

Parametry $a,b$ w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana $a$ spowoduje obrócenie krzywej, a wartość $b$ wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

$\varphi =\varphi _{0},$

gdzie $\varphi _{0}$ to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej i przecina ją w punkcie $(r_{0},\varphi _{0}),$ zadana jest przez równanie

$r=r_{0}\sec(\varphi -\varphi _{0}).$

Krzywe stożkowe

Elipsa z zaznaczonym parametrem $p$ („semilatus rectum” – zielony kolor)

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać w układzie współrzędnych biegunowych prostym równaniem (gdy jedno z ognisk pokrywa się z biegunem $O$ układu, a drugie ognisko leży na osi biegunowej $OS$):

$r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }},$

gdzie:

• $r,\varphi$ – współrzędne biegunowe punktu krzywej,
• $e$ – mimośród, decydujący o typie krzywej ($e=0$ – okrąg, $0<e<1$ – elipsa, $e=1$ – parabola, $e>1$ – hiperbola),
• $p$ – parametr krzywej równy połowie długości cięciwy, która przechodzi przez jej ognisko i jest równoległa do jej kierownicy (por. rysunek – nosi on łacińską nazwę semilatus rectum oznaczającego połowę odcinka).

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji

Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) i promieniami φ = a oraz φ = b.

Pole powierzchni $S$ ograniczonej wykresem funkcji $r=r(\varphi )$ i promieniami $\varphi =a$ oraz $\varphi =b$ (por. rysunek) oblicza się sumując jej infinitezymalne wycinki kołowe $dS$:

$S=\int _{a}^{b}dS(\varphi )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r^{2}(\varphi )d\varphi$

tj. pole powierzchni jest połową całki z kwadratu funkcji $r=r(\varphi )$, ograniczonej kątami $\varphi =a$ oraz $\varphi =b$.

Dowód:

Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) jest przybliżana za pomocą n trójkątów równoramiennych (tu n = 5).

Pole pod krzywą można przybliżyć za pomocą wycinków kołowych o środku w biegunie $O$ (por. rysunek). Niech $d\varphi =(b-a)/n$ oznacza miarę kąta każdego wycinka wyrażoną w radianach, gdzie $n$ - liczba podziału przedziału kątowego $[a,b]$ na równe części; niech $\varphi _{i}$ będzie kątem środkowym $i$ -tego wycinka, $i=1,2,...,n$; każdy z wycinków ma odpowiednio promień $r(\varphi _{i})$, kąt środkowy $d\varphi$ i długość łuku $r(\varphi _{i})d\varphi$. Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:

$dS=\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {d\varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}d\varphi$

Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi$

Zwiększając liczbę podziałów $n$ pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy $d\varphi$ i polepsza się przybliżenie. Dla $n\to \infty$ mamy $d\varphi \to 0$ - powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna:

$S=\int _{a}^{b}dS(\varphi )=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r^{2}(\varphi )d\varphi$, cnd.

Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych

Długość łuku $L$ (tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej $r=r(\varphi )$ oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty $dl$:

$L=\int _{a}^{b}dl(\varphi )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi$

gdzie $\varphi =a$ oraz $\varphi =b$ oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej; ${\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\equiv r'(\varphi )$ - pochodna zmiennej $r(\varphi )$ po $\varphi$.

Dowód:

(1) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji $r$ można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami $O$ znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: $P$ i $Q,$ są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia $|OP|$ wynosi $r(\varphi ),$ drugiego $|OQ|{:}$ $r(\varphi +d\varphi )=r(\varphi )+dr(\varphi )$ dla argumentu $\varphi ,$ długość podstawy $|PQ|$ jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako $dL,$ zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami $(POQ)$ wynosi $d\varphi ,$ gdzie $d\varphi \to 0$ jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu $OQ$ umieszczamy punkt $R,$ który dzieli to ramię w ten sposób, że $|OR|=|OP|=r(\varphi ),$ zaś $|RQ|=dr(\varphi ).$ W ten sposób podzieliliśmy trójkąt $OPQ$ na 2 mniejsze: równoramienny $OPR$ (o podstawie $PR$) i $PQR.$ Kąt $ORP$ oznaczmy jako $\gamma ,$ zaś kąt $PRQ$ – jako $\delta .$ Kąty $d\varphi$ i $\gamma$ znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa $\pi {:}$

$2\gamma +d\varphi =\pi ,$

$2\gamma =\pi -d\varphi ,$

$\gamma ={\frac {\pi -d\varphi }{2}}.$

Ponieważ $d\varphi \to 0,$ więc:

$\gamma \to {\frac {\pi }{2}}.$

Kąty $\gamma$ i $\delta$ są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa $\pi {:}$

$\gamma +\delta =\pi ,$

$\delta =\pi -\gamma =\pi -{\frac {\pi -d\varphi }{2}}={\frac {\pi +d\varphi }{2}}.$

Ponieważ $d\varphi \to 0,$ więc:

$\delta \to {\frac {\pi }{2}}.$

Skoro kąt $\delta$ znajduje się w trójkącie $PQR,$ to trójkąt ten staje się prostokątny, a skoro tworzą go boki $PQ,$ $PR$ i $QR,$ to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

$|PQ|^{2}=|PR|^{2}+|QR|^{2},$

$dL^{2}=|PR|^{2}+dr^{2}(\varphi ).$

Długość podstawy $|PR|$ można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

$|PR|^{2}=r^{2}(\varphi )+r^{2}(\varphi )-2r(\varphi )r(\varphi )\cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )-2r^{2}(\varphi )\cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )(1-\cos(d\varphi )).$

Stąd:

$dL^{2}=2r^{2}(\varphi )(1-\cos(d\varphi ))+dr^{2}(\varphi )=\left(2r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {1-\cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+\left({\frac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2}$

Ponieważ $\lim _{d\varphi \to 0}{\frac {1-\cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{2}},$ to:

$dL^{2}=\left(({\cancel {2}}r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1}{\cancel {2}}}+\left({\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2},$

gdzie ${\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\equiv r'(\varphi )$ staje się pochodną $r=r(\varphi )$ po $\varphi$ dla $d\varphi \to 0$. Różniczka łuku $dL$ wykresu funkcji $r$ w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się więc wzorem:

$dL(\varphi )={\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi$

(2) Długość łuku $L$ wykresu funkcji $r=r(\varphi )$ wyraża się zatem wzorem:

$L=\int _{a}^{b}dL(\varphi )=\int _{a}^{b}{\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi$, cnd.

Liczby zespolone – użyteczność postaci biegunowej

Przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej

Każda liczba zespolona $z$ może być przedstawiana jako punkt na płaszczyźnie zespolonej, z zastosowaniem różnych układów współrzędnych:

(1) w układzie współrzędnych kartezjańskich

$z=x+iy,$

gdzie: $i$ – jednostka urojona, $x,y$ – współrzędne kartezjańskie punktu

(2) w układzie współrzędnych biegunowych (tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej)

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),$

gdzie: $r$ – współrzędna radialna nazywana tu modułem liczby $z,$ $\varphi$ – współrzędna kątowa nazywana jej argumentem. Postać trygonometryczną liczby zespolonej można przekształcić do postaci wykładniczej

$z=re^{i\varphi },$

gdzie $e$ to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest znacznie proste, niż w postaci kartezjańskiej (por. działania na liczbach zespolonych), tj.

a) mnożenie

$r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})},$

b) dzielenie

${\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})},$

c) potęgowanie

$(re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta },$

d) pierwiastkowanie (pierwiastek główny)

${\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{\frac {i\varphi }{n}}$

Zobacz też

Inne układy współrzędnych:

• współrzędne cylindryczne
• współrzędne sferyczne
• współrzędne uogólnione
• współrzędne krzywoliniowe

Szczególne układy współrzędnych:

• współrzędne astronomiczne
• współrzędne galaktyczne
• współrzędne geodezyjne
• współrzędne geograficzne

Inne:

• długość krzywej