Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Definicja

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje:

• promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna
• amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem $\overrightarrow{OP}$

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe $(0,0)$. O amplitudzie możemy zakładać, że $0\leqslant \varphi<2\pi$ (niektórzy autorzy przyjmują $-\pi< \varphi\leqslant \pi$).

Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge'a pierwszeństwo w używaniu tego systemu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

• Cavalieri użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym "obrotem").
• W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
• W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
• Isaac Newton dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
• Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z systemem kartezjańskim

Wykres ilustrujący związek systemów polarnego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański $OXY$ oraz układ biegunowy z biegunem $O$ i osią biegunową $OX$.

Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego $r\geqslant 0$ i amplitudy $\varphi\in [0,2\pi)$ punktu P, jego współrzędne kartezjańskie określa:

$x=r\cdot\cos\varphi$

$y=r\cdot\sin\varphi$

Jakobian przejścia wynosi

$\frac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right|$ $= r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r$

Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego

Rozważmy punkt którego współrzędne kartezjańskie są $(x,y)$. Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Jeśli $r\neq 0$, to amplituda $\varphi$ tego punktu jest dana przez:

$\varphi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 \end{cases}$

gdzie $\operatorname{arctg}$ oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów $(-\pi ,\pi)$ można ten zapis uprościć do

$\varphi = \operatorname{arccos}(\tfrac{x}{r})\;\operatorname{sgn}(y)$

gdzie $\operatorname{sgn}$ oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym

Dla szeregu krzywych algebraicznych, ich równania przedstawione w systemie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg

Okrąg o równaniu $r=1$

Okrąg o środku w punkcie $(r_0,\varphi_0)$ i promieniu $a>0$ jest opisany przez równanie

$r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \varphi_0) + r_0^2 = a^2.$

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

$r=a$

Róża

Róża o równaniu $r=2\sin(4\varphi)$

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

$r= a \cos (k\varphi + \varphi_0)$ ,

gdzie $\varphi_0$ jest dowolną stałą, $a$ jest parametrem wyznaczającym długość "płatków" róży, a k jest parametrem wyznaczającym ilość i formę "płatków" róży. Jeśli k jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała k płatków, a jeśli k jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała $2k$ płatków. Dla innych wartości k kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

Jedno ramie spirali Archimedesa o równaniu $r=\varphi$ dla $0<\varphi<6\pi$

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

$r = a+b\varphi.$

Parametry $a,b$ w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

$\varphi = \varphi_0$,

gdzie $\varphi_0$ to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

$\varphi = \varphi_0$

i przecina ją w punkcie $(r_0,\varphi_0)$, zadana jest przez równanie

$r= r_0\sec(\varphi-\varphi_0)$.

Liczby zespolone

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

$z = x + iy\,$

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej $z$:

$z = r\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$.

(Powyżej, $r$ to moduł liczby $z$, a $\varphi$ to jej argument.)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

$z = re^{i\varphi} \,$

gdzie e to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

• $r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,$
• $\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,$
• $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,$

Zobacz też

• układ współrzędnych sferycznych
• układ współrzędnych astronomicznych
• współrzędne geograficzne