Układ współrzędnych biegunowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Polar coordinate system.svg

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje[1]:

  • promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna
  • amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem \overrightarrow{OP}

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe (0,0). O amplitudzie możemy zakładać, że 0\leqslant \varphi<2\pi (niektórzy autorzy przyjmują -\pi< \varphi\leqslant \pi).

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge'a[2] pierwszeństwo w używaniu tego systemu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

  • Cavalieri[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym "obrotem").
  • W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
  • W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
  • Isaac Newton[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
  • Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z systemem kartezjańskim[edytuj | edytuj kod]

Wykres ilustrujący związek systemów polarnego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański OXY oraz układ biegunowy z biegunem O i osią biegunową OX.

Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego[edytuj | edytuj kod]

Dla danego wektora wodzącego r\geqslant 0 i amplitudy \varphi\in [0,2\pi) punktu P, jego współrzędne kartezjańskie określa:

x=r\cdot\cos\varphi
y=r\cdot\sin\varphi

Jakobian przejścia wynosi

\frac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}
\cos\varphi & -r\sin\varphi\\
\sin\varphi & r\cos\varphi\\
\end{array}\right|  = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r

Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy punkt którego współrzędne kartezjańskie są (x,y). Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

r = \sqrt{x^2 + y^2}.

Jeśli r\neq 0, to amplituda \varphi tego punktu jest dana przez:

\varphi = 
\begin{cases}
\operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}),        & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\
\operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\
\operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi,  & \mbox{gdy } x < 0\\
\tfrac{\pi}{2},               & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\
\tfrac{3\pi}{2},              & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0
\end{cases}

gdzie \operatorname{arctg} oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów (-\pi ,\pi) można ten zapis uprościć do

\varphi = 
\operatorname{arccos}(\tfrac{x}{r})\;\operatorname{sgn}(y)

gdzie \operatorname{sgn} oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym[edytuj | edytuj kod]

Dla szeregu krzywych algebraicznych ich równania przedstawione w systemie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg[edytuj | edytuj kod]

Okrąg o równaniu r=1

Okrąg o środku w punkcie (r_0,\varphi_0) i promieniu a>0 jest opisany przez równanie

r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \varphi_0) + r_0^2 = a^2.

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

r=a

Róża[edytuj | edytuj kod]

Róża o równaniu r=2\sin(4\varphi)

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

r= a \cos (k\varphi + \varphi_0) ,

gdzie \varphi_0 jest dowolną stałą, a jest parametrem wyznaczającym długość "płatków" róży, a k jest parametrem wyznaczającym ilość i formę "płatków" róży. Jeśli k jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała k płatków, a jeśli k jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała 2k płatków. Dla innych wartości k kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa[edytuj | edytuj kod]

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu r=\varphi dla 0<\varphi<6\pi

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

r = a+b\varphi.

Parametry a,b w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta[edytuj | edytuj kod]

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

\varphi = \varphi_0,

gdzie \varphi_0 to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

\varphi = \varphi_0

i przecina ją w punkcie (r_0,\varphi_0), zadana jest przez równanie

r= r_0\sec(\varphi-\varphi_0).

Liczby zespolone[edytuj | edytuj kod]

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

z = x + iy\,

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej z:

z = r\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)).

(Powyżej, r to moduł liczby z, a \varphi to jej argument.)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

z = re^{i\varphi} \,

gdzie e to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

  • r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,
  • \frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,
  • (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Leja, Franciszek: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
  2. Coolidge, Julian: The Origin of Polar Coordinates. "The American Mathematical Monthly" 59 (1952), strony 78-85.
  3. Cavalieri, Bonaventura: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.)
  4. Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671.)