Hermitowska miara spektralna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) - w analizie funkcjonalnej, dokładniej w analizie spektralnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią topologiczną, \mathcal{B}(X) oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz L(H) oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta H.

Funkcję E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H) nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni X (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

  1. E(B) jest operatorem samosprzężonym dla B\in \mathcal{B}(X).
  2. E(X)=I,
  3. E(B_1\cap B_2)=E(B_1)\circ E(B_2),\; B_1, B_2\in \mathcal{B}(X)
  4. Funkcja B\mapsto E(B)x,\; x\in H,\; B\in \mathcal{B}(X) jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H) będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej X.

\Omega(g)x=\int\limits_Xg(\lambda)E(d\lambda)x
jest liniowy i ciągły, a jeżeli g(X)\subseteq\mathbb{R}, to także samosprzężony. Ponadto
\|\Omega(g)\|\leqslant\sup\{|g(\lambda)|\colon \lambda\in X\},\;\;\|\Omega(g)\|^2=\int\limits_X|g(\lambda)|^2\|E(d\lambda)x\|^2,\; x\in H
oraz \Omega(g_1,g_2)=\Omega(g_1)\circ\Omega(g_2) dla g_1,g_2\colon X\to \mathbb{C} ograniczonych funkcji borelowskich.
  • Jeśli X jest zwartą przestrzenią metryczną oraz E_1,E_2 są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów \lambda_1,\lambda_2\in X istnieje funkcja ciągła f\colon X\to \mathbb{R}, że f(\lambda_1)\neq f(\lambda_2) oraz
\int\limits_X f(\lambda)E_1(d\lambda)x=\int\limits_X f(\lambda)E_2(d\lambda)x,\; x\in H, to E_1=E_2.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta H jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna (e_n)_{n\in\mathbb{N}} tej przestrzeni. Dalej, niech K\subset\mathbb{R} będzie zbiorem zwartym oraz (\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}} różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:

\mbox{cl}\{\lambda_n\colon n\in\mathbb{N}\}=K\neq \{\lambda_n\colon n\in\mathbb{N}\}.

Wówczas operator \Lambda\colon H\to H dany wzorem

\Lambda x=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n(x|e_n)e_n

jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo \sigma(\Lambda)=K. Funkcja E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H) dana wzorem

E(B)x=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbf{1}_B(\lambda_n)(x|e_n)e_n,\; x\in H,

gdzie \mathbf{1}_{\cdot} oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz

\Lambda x=\int\limits_{\sigma(\Lambda)}\lambda E(d\lambda)x,\; x\in H.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  1. Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972.