Hermitowska miara spektralna

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) - w analizie funkcjonalnej, dokładniej w analizie spektralnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $\mathcal{B}(X)$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz $L(H)$ oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta $H$.

Funkcję $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni $X$ (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. $E(B)$ jest operatorem samosprzężonym dla $B\in \mathcal{B}(X)$.
2. $E(X)=I$,
3. $E(B_1\cap B_2)=E(B_1)\circ E(B_2),\; B_1, B_2\in \mathcal{B}(X)$
4. Funkcja $B\mapsto E(B)x,\; x\in H,\; B\in \mathcal{B}(X)$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności

Niech $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej $X$.

• $(E(B)x|x)=\|E(B)x\|^2$ dla $B\in\mathcal{B}(X)$.
• Jeżeli $B_1,B_2\in\mathcal{B}(X)$ są rozłączne, to $E(B_1)H\perp E(B_2)H$ oraz $\|E(\cdot)x\|(X)=\|x\|,\; x\in H$.
• Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej $g\colon X\to\mathbb{C}$ operator

$\Omega(g)x=\int\limits_Xg(\lambda)E(d\lambda)x$

jest liniowy i ciągły, a jeżeli $g(X)\subseteq\mathbb{R}$, to także samosprzężony. Ponadto

$\|\Omega(g)\|\leqslant\sup\{|g(\lambda)|\colon \lambda\in X\},\;\;\|\Omega(g)\|^2=\int\limits_X|g(\lambda)|^2\|E(d\lambda)x\|^2,\; x\in H$

oraz $\Omega(g_1,g_2)=\Omega(g_1)\circ\Omega(g_2)$ dla $g_1,g_2\colon X\to \mathbb{C}$ ograniczonych funkcji borelowskich.

• Jeśli $X$ jest zwartą przestrzenią metryczną oraz $E_1,E_2$ są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów $\lambda_1,\lambda_2\in X$ istnieje funkcja ciągła $f\colon X\to \mathbb{R}$, że $f(\lambda_1)\neq f(\lambda_2)$ oraz

$\int\limits_X f(\lambda)E_1(d\lambda)x=\int\limits_X f(\lambda)E_2(d\lambda)x,\; x\in H$, to $E_1=E_2$.

Przykład

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta $H$ jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tej przestrzeni. Dalej, niech $K\subset\mathbb{R}$ będzie zbiorem zwartym oraz $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:

$\mbox{cl}\{\lambda_n\colon n\in\mathbb{N}\}=K\neq \{\lambda_n\colon n\in\mathbb{N}\}$.

Wówczas operator $\Lambda\colon H\to H$ dany wzorem

$\Lambda x=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n(x|e_n)e_n$

jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo $\sigma(\Lambda)=K$. Funkcja $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ dana wzorem

$E(B)x=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbf{1}_B(\lambda_n)(x|e_n)e_n,\; x\in H$,

gdzie $\mathbf{1}_{\cdot}$ oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz

$\Lambda x=\int\limits_{\sigma(\Lambda)}\lambda E(d\lambda)x,\; x\in H$.

Literatura

1. Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972.