Baza ortonormalna

Baza ortonormalna – zbiór wektorów $\mathcal{E}$ w przestrzeni unitarnej $H$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot \rangle$ o następujących własnościach:

• $\|e\|=\sqrt{\langle e, e\rangle}=1$ dla każdego $e\in \mathcal{E}$
• ortogonalność: $\langle e_1, e_2\rangle = 0$ dla różnych $e_1, e_2\in \mathcal{E}$
• domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru $\mathcal{E}$ jest całą przestrzenią $H$.

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Przykłady

• Zbiór $\{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^3 .$
• Zbiór $\{ (1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...) \}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $\ell^2$ wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem
• Zbiór $\{ e^{2 \pi i n } : n \in \mathbb{Z} \}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej $L^2([0,1])$. Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
• Bazą ortonormalną przestrzeni $\ell^2(I)$, gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem, jest rodzina $\{ e_i\colon\, i \in I \}$, gdzie:

$e_i (j) = \begin{cases} 1 & j = i \\ 0 & j \neq i \end{cases}.$

Podstawowe wzory

Jeżeli $\mathcal{E}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $H$, to dowolny wektor $h$ tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

$h=\sum_{e\in \mathcal{E}}\langle h,e\rangle e$.

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora $h$ można wyrazić za pomocą równości:

$\|h\|^2=\sum_{e \in \mathcal{E}}|\langle h,e\rangle |^2$.

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy $\mathcal{E}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta $H$ z bazą $\mathcal{E}$ jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią $\ell^2 (I)$, gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem równolicznym z $\mathcal{E}$

Istnienie bazy ortonormalnej

Jeżeli $\mathcal{E}$ jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta $H$, to domknięcie powłoki liniowej zbioru $\mathcal{E}$ jest podprzestrzenią liniową $H .$ Zbiór $\mathcal{E}$ jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną.

Ortogonalizacja

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.