Ideał prymarny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ideał prymarny – dla danego pierścienia przemiennego R ideał I o tej własności, że

jeżeli ab\in I oraz a\notin I, to istnieje taka liczba naturalna n, że b^n\in I.

Przykładem ideału prymarnego jest ideał generowany przez element p^n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną, a p jest elementem pierwszym. W pierścieniu liczb całkowitych wszystkie ideały prymarne są tej postaci (elementami pierwszymi tego pierścienia są po prostu liczby pierwsze). Istnieją mimo to pierścienie, w których ideały prymarne mają także inną postać. Na przykład, jeżeli k jest ciałem oraz k[X,Y] oznacza pierścień wielomianów zmiennych X i Y, to ideał generowany przez wielomiany X i Y^2 jest prymarny w k[X,Y].

Jeżeli I jest ideałem, to zbiór ideałów prymarnych \{I_1, \ldots, I_n\} nazywany jest rozkładem prymarnym ideału I, gdy

I=I_1\cap I_2 \cap \ldots\cap I_n.

Własności[edytuj | edytuj kod]

\bigcap_{n=1}^\infty~I^n=\{0\}.

Twierdzenie Laskera-Noether[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Laskera-Noether mówi, że

każdy ideał pierścienia noetherowskiego ma rozkład prymarny.

Pierścienie dla których zachodzi teza twierdzenia Laskera-Noether nazywane są pierścieniami Laskera. Istnieją pierścienie Laskera, które nie są noetherowskie, tzn. rozkład prymarny ideału można przeprowadzić także w pierścieniach innych niż noetherowskie. Powyższe twierdzenie zostało udowodnione w szczególnym przypadku (dla pierścieni wielomianów) w 1905 roku przez Emanuela Laskera[1] oraz w pełnej ogólności, w 1921 roku, przez Emmy Noether[2].

Przypisy

  1. Emanuel Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Mathematische Annalen, 60 (1905) ss. 19–116.
  2. Emmy Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen, 83 (1921) ss. 24– 66.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Douglas Northcott: Ideal theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 10-52, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
  • Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970.