Rachunek zdań

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Rachunek zdań – dział logiki matematycznej badający związki między zmiennymi zdaniowymi (zdaniami) lub funkcjami zdaniowymi, utworzonymi za pomocą funktorów zdaniotwórczych (spójników zdaniowych) ze zdań lub prostszych funkcji zdaniowych. Rachunek zdań określa sposoby stosowania funktorów zdaniotwórczych w poprawnym wnioskowaniu.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

W klasycznym rachunku zdań przyjmuje się założenie, że każdemu zdaniu można przypisać jedną z dwu wartości logicznychprawdę lub fałsz, które umownie przyjęto oznaczać odpowiednio 1 lub 0. Klasyczny rachunek zdań jest więc dwuwartościowym rachunkiem zdań.

W rachunku zdań treść rozpatrywanych zdań nie ma znaczenia, istotna jest jedynie ich wartość logiczna. Wartość logiczną zdań złożonych powstałych przez zastosowanie funktorów zdaniotwórczych określa funkcja prawdy, związana z każdym funktorem zdaniotwórczym. Wartość ta zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych, a nie zależy od ich treści. Szczególną rolę w rachunku zdań odgrywają takie zdania złożone, dla których wartość logiczna jest równa 1, niezależnie od tego, jakie wartości logiczne mają zdania proste, z których się składają. Takie zdania nazywa się prawami rachunku zdań lub tautologiami.

Początki[edytuj | edytuj kod]

Zalążki klasycznego rachunku zdań odnajdujemy już w filozofii starożytnej. Rachunkiem zdań zajmowano się również w średniowieczu. Współczesne, sformalizowane oraz pełne ujęcie rachunku zdań po raz pierwszy podał w 1879 roku logik niemiecki Gottlob Frege. Niemałą rolę w dalszym rozwoju rachunku zdań odegrali matematycy polscy, a wśród nich głównie Jan Łukasiewicz i Alfred Tarski.

Alfabet klasycznego rachunku zdań[edytuj | edytuj kod]

Alfabet KRZ składa się z trzech rodzajów znaków: zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych i znaków pomocniczych:

Zmienne zdaniowe (zdania)
p, q, r, s, itd.
Funktory zdaniotwórcze (spójniki zdaniowe)
koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja logiczna, itd.
Znaki pomocnicze
nawiasy: (, ), [, ], {, }.

Definicja wyrażenia sensownego KRZ[edytuj | edytuj kod]

Wyrażeniem sensownym KRZ lub formułą KRZ, nazywamy taki i tylko taki skończony ciąg symboli alfabetu KRZ, który jest zbudowany zgodnie z następującymi regułami:

  • Każda pojedyncza zmienna zdaniowa jest formułą.
  • Jeżeli α i β są formułami to ich połączenie funktorem też jest formułą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikibooks-logo.svg
Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Logika