Ciało zbiorów

Ciało zbiorów (albo algebra zbiorów) - rodzina ${\mathcal F}$ podzbiorów pewnego niepustego zbioru X, spełniająca warunki

1. zbiór pusty należy do ${\mathcal F}$,
2. dopełnienie zbioru należącego do ${\mathcal F}$ należy do ${\mathcal F}$,
3. suma dwóch zbiorów należących do ${\mathcal F}$ należy do ${\mathcal F}$.

Czasami aby uwypuklić, iż ${\mathcal F}$ jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru X pisze się ciało zbiorów na X.

Ciała zbiorów są studiowanie m.in. w teorii mnogości, teorii algebr Boole'a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykłady

Niech X będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów X są ciałami na X:

• rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X (zbiór potęgowy),
• rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X,
• rodzina ${\mathcal F}_A=\{A,X\setminus A,\varnothing,X\}$, gdzie $A$ jest dowolnym podzbiorem X,
• rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone, bądź ich dopełnienie jest skończone jest ciałem.
• każde σ-ciało podzbiorów X, np. rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.
• Jeśli $(X,\tau)$ jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów X tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych.)
• Niech $(X,\leqslant^*)$ będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla $x,y\in X\cup \{\infty\},\, x<^*y$ niech $[x,y):=\{z\in X\colon x\leqslant^* z<^*y\}$. (Element $\infty$ jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z $X$.) Niech ${\mathcal F}$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów $X$ które mogą być przedstawione jako $[x_0,y_0)\cup\ldots\cup [x_k,y_k)$ dla pewnych elementów $x_0,y_0,\ldots,x_k,y_k\in X\cup\{\infty\}$ spełniających nierówności $x_0<^*y_0<^*x_1<^*y_1<^*\ldots<^*x_k<^*y_k$, $k\in {\mathbb N}$. Wówczas ${\mathcal F}$ jest ciałem podzbiorów X; jest to ciało generowane przez przedziały $[x,y)$ dla $x,y\in X\cup\{\infty\}$.

Podstawowe własności

• Każde ciało na X jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
• Przekrój dowolnej rodziny ciał na X jest ciałem zbiorów.
• Dla dowolnej rodziny ${\mathcal A}$ podzbiorów zbioru $X$ istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
• Przypuśćmy, że ${\mathcal F}$ jest ciałem podzbiorów $X$, a ${\mathcal I}$ jest ideałem podzbiorów $X$. Wówczas ciało generowane przez ${\mathcal F}\cup{\mathcal I}$ to rodzina $\big\{A\dot{-} B:A\in {\mathcal F}\ \wedge\ B\in {\mathcal I}\big\},$ gdzie $\dot{-}$ oznacza operację różnicy symetrycznej.
• Pierścień zbiorów R na X jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór X.

Ciała jako algebry Boole'a

• Jeśli ${\mathcal F}$ jest ciałem zbiorów na X, to $({\mathcal F},\cup,\cap,{}^\prime,\varnothing,X)$ jest algebrą Boole'a.
• Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a ${\mathbb B}$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na ${\mathbb B}$ (tzw. przestrzeni Stone'a algebry ${\mathbb B}$). Twierdzenie Stone'a nie może być wyłącznie na gruncie aksjomatyki ZF - wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.