Ciało zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało zbiorów (albo algebra zbiorów) - rodzina {\mathcal F} podzbiorów pewnego niepustego zbioru X, spełniająca warunki

  1. zbiór pusty należy do {\mathcal F},
  2. dopełnienie zbioru należącego do {\mathcal F} należy do {\mathcal F},
  3. suma dwóch zbiorów należących do {\mathcal F} należy do {\mathcal F}.

Czasami aby uwypuklić, iż {\mathcal F} jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru X pisze się ciało zbiorów na X.

Ciała zbiorów są studiowane m.in. w teorii mnogości, teorii algebr Boole'a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów X są ciałami na X:

  • rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X (zbiór potęgowy),
  • rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X,
  • rodzina {\mathcal F}_A=\{A,X\setminus A,\varnothing,X\}, gdzie A jest dowolnym podzbiorem X,
  • rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone, bądź ich dopełnienie jest skończone jest ciałem.
  • każde σ-ciało podzbiorów X, np. rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.
  • Jeśli (X,\tau) jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów X tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych.)
  • Niech (X,\leqslant^*) będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla x,y\in X\cup \{\infty\},\, x<^*y niech [x,y):=\{z\in X\colon x\leqslant^* z<^*y\}. (Element \infty jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z X.) Niech {\mathcal F} będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów X które mogą być przedstawione jako [x_0,y_0)\cup\ldots\cup [x_k,y_k) dla pewnych elementów x_0,y_0,\ldots,x_k,y_k\in X\cup\{\infty\} spełniających nierówności x_0<^*y_0<^*x_1<^*y_1<^*\ldots<^*x_k<^*y_k, k\in {\mathbb N}. Wówczas {\mathcal F} jest ciałem podzbiorów X; jest to ciało generowane przez przedziały [x,y) dla x,y\in X\cup\{\infty\}.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każde ciało na X jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
  • Przekrój dowolnej rodziny ciał na X jest ciałem zbiorów.
  • Dla dowolnej rodziny {\mathcal A} podzbiorów zbioru X istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
  • Przypuśćmy, że {\mathcal F} jest ciałem podzbiorów X, a {\mathcal I} jest ideałem podzbiorów X. Wówczas ciało generowane przez {\mathcal F}\cup{\mathcal I} to rodzina \big\{A\dot{-} B:A\in {\mathcal F}\ \wedge\ B\in {\mathcal I}\big\}, gdzie \dot{-} oznacza operację różnicy symetrycznej.
  • Pierścień zbiorów R na X jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór X.

Ciała jako algebry Boole'a[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: algebra Boole'a.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]