Miara wewnętrznie regularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara wewnętrznie regularna – w matematyce miara, dla której miara zbioru może być przybliżana od dołu przez podzbiory zwarte.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a \mathfrak M σ-algebrą na X zawierającą topologię \tau (tak, że każdy zbiór otwarty jest zarazem mierzalny, a \mathfrak M jest co najmniej tak silna, jak σ-algebra borelowska na X). Miarę \mu określoną na przestrzeni mierzalnej (X, \mathfrak M) nazywa się wewnętrznie regularną, jeżeli dla każdego zbioru A \in \mathfrak M zachodzi

\mu(A) = \sup \{\mu(K)\colon \mbox{zwarty } K \subseteq A\}.

Własność tę określa się czasami słownie jako „przybliżanie od dołu przez zbiory zwarte”.

Niektórzy autorzy[1][2] używają terminu „ciasna (jędrna)” jako synonimu dla „wewnętrznie regularna”. Nazwa ta jest blisko związana z jędrnością rodziny miar, ponieważ miara \mu jest wewnętrznie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \varepsilon > 0 istnieje pewny podzbiór zwarty K \subseteq X taki, że \mu(X \setminus K) < \varepsilon. Jest to dokładnie warunek na to, aby jednoelementowa rodzina miar \{\mu\} była jędrna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G.: Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005. ISBN 3-7643-2428-7.
  2. K. R. Parthasarathy: Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, s. pp.xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR2169627