Miara wewnętrznie regularna

Miara wewnętrznie regularna – w matematyce miara, dla której miara zbioru może być przybliżana od dołu przez podzbiory zwarte.

Definicja

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a $\mathfrak M$ σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau$ (tak, że każdy zbiór otwarty jest zarazem mierzalny, a $\mathfrak M$ jest co najmniej tak silna, jak σ-algebra borelowska na $X$). Miarę $\mu$ określoną na przestrzeni mierzalnej $(X, \mathfrak M)$ nazywa się wewnętrznie regularną, jeżeli dla każdego zbioru $A \in \mathfrak M$ zachodzi

$\mu(A) = \sup \{\mu(K)\colon \mbox{zwarty } K \subseteq A\}$.

Własność tę określa się czasami słownie jako „przybliżanie od dołu przez zbiory zwarte”.

Niektórzy autorzy używają terminu „ciasna (jędrna)” jako synonimu dla „wewnętrznie regularna”. Nazwa ta jest blisko związana z jędrnością rodziny miar, ponieważ miara $\mu$ jest wewnętrznie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje pewny podzbiór zwarty $K \subseteq X$ taki, że $\mu(X \setminus K) < \varepsilon$. Jest to dokładnie warunek na to, aby jednoelementowa rodzina miar $\{\mu\}$ była jędrna.

Zobacz też

• miara wewnętrzna
• miara Radona
• miara regularna