Jędrna rodzina miar

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Jędrność (ciasność) (ang. tight) – w matematyce pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną, i niech \mathfrak M będzie σ-algebrą na X zawierającą topologię \tau (czyli każdy podzbiór otwarty w X jest mierzalny, \mathfrak M może być σ-algebrą borelowską na X). Niech M będzie rodziną miar określonych na \mathfrak M.

Rodzinę M nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego \varepsilon > 0 istnieje zwarty podzbiór K_\varepsilon przestrzeni X, że dla wszystkich miar \mu \in M zachodzi

\mu(X \setminus K_\varepsilon) < \varepsilon.

Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako

\mu(K_{\varepsilon}) > 1 - \varepsilon.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie zwarte[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na X jest jędrna.

Rodzina mas punktowych[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie prosta rzeczywista \mathbb R z topologią naturalną (euklidesową). Dla x \in \mathbb R niech \delta_x oznacza miarę Diraca skupioną w x. Wówczas rodzina

M_1 := \{\delta_n\colon n \in \mathbb N\}

nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami \mathbb R są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest \delta_n-miary zero dla dostatecznie dużych n. Z drugiej strony, rodzina

M_2 := \{\delta_{1/n}\colon n \in \mathbb N\}

jest ciasna: przedział zwarty [0, 1] będzie pełnił rolę K_\varepsilon dla dowolnego \varepsilon > 0. W ogólności rodzina miar delt Diraca na \mathbb R^n jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.

Rodzina miar gaussowskich[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa \mathbb R^n ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich

\Gamma = \{\gamma_i\colon i \in I\},

gdzie zmienna losowa o rozkładzie \gamma_i ma wartość oczekiwaną \mu_i\in \mathbb R^n oraz wariancję \sigma_i^2 > 0. Wtedy rodzina \Gamma jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny \{\mu_i\colon i \in I\} \subseteq \mathbb R^n oraz \{\sigma_i^2\colon i \in I\} \subseteq \mathbb R są ograniczone.

Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.

Niech m^*,\sigma^*,m_i,\sigma_i\in {\mathbb R} będą takie, że

-m^*<m_i<m^* oraz 0<\sigma_i<\sigma^* dla wszystkich i\in I.

Niech \gamma_i=N(m_i,\sigma_i^2) będzie rozkładem normalnym ze średnią m_i oraz odchyleniem standardowym \sigma_i. Wykarzemy, że rodzina miar \{\gamma_i:i\in I\} jest jędrna.

Niech będzie dane \varepsilon>0. Dla m\in {\mathbb R} oraz \sigma>0 niech \Phi_{m,\sigma} będzie dystrybuantą rozkładu normalnego N(m,\sigma) i niech \Phi_{0,1}=\Phi. Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:

  • możemy znaleźć x^*>0 takie, że \Phi(x^*)=1-\frac{\varepsilon}{3} oraz \Phi(-x^*)=\frac{\varepsilon}{3};
  • \Phi_{m,\sigma^2}(x)=  \Phi\Bigl(\frac{x-m}{\sigma}\Bigr) dla wszystkich  x\in{\mathbb R}.

Połóżmy

d^-=-m^*-\sigma^*\cdot x^* oraz d^+=m^*+\sigma^*\cdot x^*.

Na mocy naszych założeń o m_i,\sigma_i mamy, że dla i\in I:

\frac{m^*+\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\geqslant\frac{m_i+\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}

oraz

\frac{-m^*-\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\leqslant\frac{m_i-\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}.

Stąd

\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(d^+)=\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(m^*+\sigma^*\cdot x^*)=\Phi\Bigl(\frac{m^*+\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)\geqslant\Phi\Bigl(\frac{m_i+\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)=\Phi(x^*)=1-\frac{\varepsilon}{3}

oraz

\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(d^-)=\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(-m^*-\sigma^*\cdot x^*)=\Phi\Bigl(\frac{-m^*-\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)\leqslant\Phi\Bigl(\frac{m_i-\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)=\Phi(-x^*)=\frac{\varepsilon}{3}

Teraz, dla każdego i \in I mamy

\gamma_i([d^-,d^+]) = \Phi_{m_i,\sigma_i^2}(d^+) - \Phi_{m_i,\sigma_i^2}(d^-) \geqslant 1 - \tfrac{\varepsilon}{3} - \tfrac{\varepsilon}{3} > 1 - \varepsilon,

a zbiór [d^-,d^+] jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów N(m_i,\sigma_i^2) jest jędrna.

Jędrność a zbieżność[edytuj | edytuj kod]

Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz

Jędrność wykładnicza[edytuj | edytuj kod]

Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych (\mu_\delta)_{\delta > 0} na przestrzeni topologicznej Hausdorffa X nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego \varepsilon > 0 istnieje podzbiór zwarty K_\varepsilon przestrzeni X taki, że

\limsup_{\delta \downarrow 0} \delta \log \mu_\delta (X \setminus K_\varepsilon) < -\varepsilon.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
  • Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2.
  • Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.