Obraz i przeciwobraz

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Obraz (matematyka))
Skocz do: nawigacja, szukaj

Obraz – w matematyce odpowiednio zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej f \colon X \to Y oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru X w zbiór Y.

Obraz elementu
Jeżeli x jest elementem X, to f(x) = y, czyli wartość funkcji f na elemencie x, nazywa się obrazem x poprzez f.
Obraz zbioru
Obrazem zbioru A \subseteq X w funkcji f nazywa się podzbiór f[A] \subseteq Y wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
\left\{y \in Y\colon f(x) = y \mbox{ dla pewnego } x \in A\right\} = \left\{f(x) \in Y\colon x \in A\right\}.
Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki f[A] oznacza się zwykle symbolem f(A). Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez f jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru X, a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru Y.
Obraz funkcji

Obraz f[X] całej dziedziny X nazywa się zwykle obrazem funkcji f. Do innych oznaczeń należą również f(X) (j.w.), \operatorname{im}(f) (ang. image – obraz).

Przeciwobrazem zbioru B \subseteq Y względem f nazywa się podzbiór zbioru X określony wzorem

f^{-1}[B] = \{x \in X\colon f(x) \in B\}.

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem f^{-1}[\scriptstyle\{y\}\textstyle] lub krótko f^{-1}[y] nazywa się również włóknem nad y bądź poziomicą lub warstwicą y. Zbiór wszystkich włókien nad elementami Y tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez Y. Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Raz jeszcze, jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to f^{-1}[B] można oznaczać symbolem f^{-1}(B) i myśleć o f^{-1} jako o funkcji ze zbioru potęgowego Y w zbiór potęgowy X. Oznaczenie f^{-1} może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy f jest bijekcją.

Notacja[edytuj | edytuj kod]

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[1] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa
f^\rightarrow\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y), gdzie f^\rightarrow(A) = \{f(a)\colon a \in A\},
f^\leftarrow\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X), gdzie f^\leftarrow(B) = \{a \in X\colon f(a) \in B\}.
Notacja gwiazdkowa
f_\star\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y) zamiast f^\rightarrow,
f^\star\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X) zamiast f^\leftarrow.
Inne
Alternatywną notacją f[A] wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest f'' A.
W niektórych pracach obraz f nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji f postaci \operatorname{rg}(f) bądź \operatorname{ran}(f) (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie funkcja f\colon X \to Y. Dla wszystkich podzbiorów A, A_1, A_2 \subseteq X oraz B, B_1, B_2 \subseteq Y zachodzą następujące własności:

  • obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,
    f[A] \subseteq Y oraz f^{-1}[B] \subseteq X;
  • działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:
    f[f^{-1}[B]\textstyle] \subseteq B (równość dla funkcji „na”),
    f^{-1}[f[A]\textstyle] \supseteq A (równość dla funkcji różnowartościowej),
    f[A] \subseteq B \Leftrightarrow A \subseteq f^{-1}[B];
  • operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn.
    A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow f\left[A_1\right] \subseteq f\left[A_2\right] oraz
    B_1 \subseteq B_2 \Rightarrow f^{-1}\left[B_1\right] \subseteq f^{-1}\left[B_2\right];
  • prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
    f[A \cup B] = f[A] \cup f[B],
    f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B] (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),
    f^{-1}[A \cup B] = f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B],
    f^{-1}[A \cap B] = f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B];
  • zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:
    f^{-1}\left[B^{\operatorname c}\right] = (f^{-1}[B])^{\operatorname c},
  • z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
    f\left[A \setminus B\right] \supseteq f[A] \setminus f[B],
    f^{-1}\left[A \setminus B\right] = f^{-1}[A] \setminus f^{-1}[B].
  • istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:
    (f|_A)^{-1}[B] = A \cap f^{-1}[B].

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole'a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech (A_i)_{i \in I} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X, a (B_j)_{j \in J} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Y. Wówczas

  • f\left[\bigcup A_i\right] = \bigcup f\left[A_i\right],
  • f\left[\bigcap A_i\right] \subseteq \bigcap f\left[A_i\right].

oraz

  • f^{-1}\left[\bigcup B_j\right] = \bigcup f^{-1}\left[B_j\right],
  • f^{-1}\left[\bigcap B_j\right] = \bigcap f^{-1}\left[B_j\right].

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru B \subset Y względem złożenia g \circ f \colon X \to Z dwóch funkcji f \colon X \to Y oraz g \colon Y \to Z dany jest wzorem:

  • (g \circ f)^{-1}[B] = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)[B].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Blyth 2005, s. 5

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]