Płaszczyzna Niemyckiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Płaszczyzna Niemyckiego - przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech L będzie górną półpłaszczyzną zawierającą oś odciętych, tzn. niech

L=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb R}^2:x_2\geqslant 0\}.

W zbiorze L można wprowadzić topologię \tau_N poprzez określenie bazy otoczeń {\mathcal B}({\bold x}) każdego punktu {\bold x}\in L:

  • jeśli {\bold x}=(x_1,x_2)\in L i x_2>0, to niech
{\mathcal B}({\bold x})=\{V({\bold x},i):i=1,2,3,\ldots\}, gdzie V({\bold x},i)=\{{\bold z}\in L: d({\bold x},{\bold z})<\frac{1}{i}\} a d oznacza standardową odległość na płaszczyźnie,
  • jeśli {\bold x}=(x_1,0)\in L, to niech
{\mathcal B}({\bold x})=\{U({\bold x},i):i=1,2,3,\ldots\}, gdzie U({\bold x},i)=\{{\bold x}\}\cup \{{\bold z}\in L: d({\bold y}^i,{\bold z})<\frac{1}{i}\} a {\bold y}^i=(x_1,\frac{1}{i}).

Przestrzeń topologiczna (L,\tau_N) nazywana jest płaszczyzną Niemyckiego.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Paweł Aleksandrow, Heinz Hopf: Topologie I. Wyd. pierwsze. Berlin: Springer, 1935.
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 36, 60, 71, 98, 273, 342, 391, 400.