Płaszczyzna Niemyckiego

Płaszczyzna Niemyckiego - przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.

Konstrukcja

Niech $L$ będzie górną półpłaszczyzną zawierającą oś odciętych, tzn. niech

$L=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb R}^2:x_2\geqslant 0\}$.

W zbiorze $L$ można wprowadzić topologię $\tau_N$ poprzez określenie bazy otoczeń ${\mathcal B}({\bold x})$ każdego punktu ${\bold x}\in L$:

• jeśli ${\bold x}=(x_1,x_2)\in L$ i $x_2>0$, to niech

${\mathcal B}({\bold x})=\{V({\bold x},i):i=1,2,3,\ldots\}$, gdzie $V({\bold x},i)=\{{\bold z}\in L: d({\bold x},{\bold z})<\frac{1}{i}\}$ a $d$ oznacza standardową odległość na płaszczyźnie,

• jeśli ${\bold x}=(x_1,0)\in L$, to niech

${\mathcal B}({\bold x})=\{U({\bold x},i):i=1,2,3,\ldots\}$, gdzie $U({\bold x},i)=\{{\bold x}\}\cup \{{\bold z}\in L: d({\bold y}^i,{\bold z})<\frac{1}{i}\}$ a ${\bold y}^i=(x_1,\frac{1}{i})$.

Przestrzeń topologiczna $(L,\tau_N)$ nazywana jest płaszczyzną Niemyckiego.

Własności

• Płaszczyzna Niemyckiego $(L,\tau_N)$ jest ośrodkową przestrzenią Tichonowa (ośrodkiem tej przestrzeni jest, na przykład, zbiór tych punktów, które mają obydwie współrzędne wymierne).
• Przestrzeń ta zawiera domkniętą dyskretną podprzestrzeń mocy continuum (np. zbiór $\{(x_1,x_2)\in L:x_2=0\}$ jest dyskretny i mocy continuum). W szczególności, $(L,\tau_N)$ jako przestrzeń ośrodkowa zawierająca podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, nie jest przestrzenią normalną.
• Każdy domknięty podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
• Przestrzeń $(L,\tau_N)$ jest zupełna w sensie Čecha.

Bibliografia

• Paweł Aleksandrow, Heinz Hopf: Topologie I. Wyd. pierwsze. Berlin: Springer, 1935. 
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 36, 60, 71, 98, 273, 342, 391, 400.