Topologia podprzestrzeni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Topologia podprzestrzeni – w topologii i powiązanych z nią działach matematyki topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau) będzie przestrzenią topologiczną, zaś Y będzie podzbiorem zbioru X. Topologia podprzestrzeni Y indukowana z przestrzeni X to rodzina \tau_Y=\{U\cap Y:U\in \tau\}.

Łatwo się sprawdza że (Y,\tau_Y) jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić Y z topologią podprzestrzeni X mówimy po prostu podprzestrzeń Y.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Charakteryzacja i własności[edytuj | edytuj kod]

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy, że X jest przestrzenią topologiczną a Y jest jej podprzestrzenią.

  • Niech i : Y \longrightarrow X będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej Z i funkcji f : Z \to Y, f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja złożona i\circ f jest ciągła.
Własność charakteryzująca podprzestrzeń

Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na Y.

  • Jeśli f: X \to Z jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do Y też jest ciągłe.
  • Podzbiór F \subseteq Y jest domknięty (w topologii na Y) wtedy i tylko wtedy, gdy F=F^*\cap Y dla pewnego domkniętego podzbioru F^*\subseteq X.
  • Jeśli {\mathcal B} jest bazą topologii na X, to \mathcal B_Y = \{U\cap Y : U \in \mathcal B\} jest bazą topologii na Y.
  • Każda podprzestrzeń przestrzeni Y jest także podprzestrzenią przestrzeni X.
  • Jeśli Y jest otwartym podzbiorem X, to podziór U \subseteq Y jest otwarty w Y wtedy i tylko wtedy gdy jest otwarty w X.
  • Jeśli Y jest domkniętym podzbiorem X, to podziór F \subseteq Y jest domknięty w Y wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty w X.
  • Jeśli X jest przestrzenią metryczną z metryką d, to wtedy d_Y=d|_{Y \times Y} jest metryką na Y i topologia podprzestrzeni na Y jest wyznaczona przez d_Y

Własności dziedziczne[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że własność P przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną, gdy:

dla każdej przestrzeni topologicznej X, jeśli X ma własność P i Y jest podprzestrzenią X, to Y także ma własność P.

Przykłady własności dziedzicznych:

Przykłady własności, które nie są własnościami dziedzicznymi:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]