Topologia podprzestrzeni

Topologia podprzestrzeni – w topologii i powiązanych z nią działach matematyki topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Definicja [edytuj]

Niech $(X,\tau)$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ będzie podzbiorem zbioru $X$ . Topologia podprzestrzeni $Y$ indukowana z przestrzeni $X$ to rodzina $\tau_Y=\{U\cap Y:U\in \tau\}$ .

Łatwo się sprawdza że $(Y,\tau_Y)$ jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić $Y$ z topologią podprzestrzeni $X$ mówimy po prostu podprzestrzeń $Y$ .

Przykłady [edytuj]

Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ z topologią naturalną rozważymy zbiór liczb naturalnych ${\mathbb N}$ z topologią podprzestrzeni, to stanie się on przestrzenią dyskretną. Natomiast zbiór liczb wymiernych $\mathbb Q$ z topologią podprzestrzeni nie jest przestrzenią dyskretną – ta przestrzeń nie ma nawet punktów izolowanych.
Jeśli $X=\mathbb R$ (z topologią naturalną), a $Y=[0,2)$ , to zbiór $[0,1)$ jest otwarty w $Y$ , ale nie w $X$ .

Charakteryzacja i własności [edytuj]

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy, że $X$ jest przestrzenią topologiczną a $Y$ jest jej podprzestrzenią.

Niech $i : Y \longrightarrow X$ będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej $Z$ i funkcji $f : Z \to Y$ , $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja złożona $i\circ f$ jest ciągła.

Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na $Y$ .

Jeśli $f: X \to Z$ jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do $Y$ też jest ciągłe.
Podzbiór $F \subseteq Y$ jest domknięty (w topologii na $Y$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy $F=F^*\cap Y$ dla pewnego domkniętego podzbioru $F^*\subseteq X$ .
Jeśli ${\mathcal B}$ jest bazą topologii na $X$ , to $\mathcal B_Y = \{U\cap Y : U \in \mathcal B\}$ jest bazą topologii na $Y$ .
Każda podprzestrzeń przestrzeni $Y$ jest także podprzestrzenią przestrzeni $X$ .
Jeśli $Y$ jest otwartym podzbiorem $X$ , to podziór $U \subseteq Y$ jest otwarty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy jest otwarty w $X$ .
Jeśli $Y$ jest domkniętym podzbiorem $X$ , to podziór $F \subseteq Y$ jest domknięty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty w $X$ .
Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną z metryką $d$ , to wtedy $d_Y=d|_{Y \times Y}$ jest metryką na $Y$ i topologia podprzestrzeni na $Y$ jest wyznaczona przez $d_Y$