Pierścień uporządkowany

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścieniem uporządkowanym - pierścień przemienny R z z określonym porządkiem liniowym ≤ spełniającym dla dowolnych a, b, cR warunki

  • a\leqslant b \implies a+c\leqslant b+c
  • (0\leqslant a \land 0\leqslant b)\implies 0\leqslant ab.

Niezerowy element aR nazywany jest dodatnim (odpowiednio, ujemnym), gdy 0 ≤ a (a ≤ 0). Wartością bezwzględną elementu aR nazywany jest element

|a|=\begin{cases} a, & \mbox{gdy }  0 \leqslant a  \\ -a,  & \mbox{w przeciwnym wypadku} \end{cases} ,

gdzie -a oznacza element odwrotny do elementu a względem dodawania.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Pierścieniami uporządkowanymi są: pierścień liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, pierścień liczb wymiernych i pierścień liczb rzeczywistych ze zwykłymi porządkami (dwa ostatnie przykłady są nawet ciałami uporządkowanymi).

Pierścienia uporządkowanego nie tworzą natomiast liczby zespolone.

Własności[edytuj | edytuj kod]

W poniższych twierdzeniach przyjmujemy, że R jest pierścieniem uporządkowanym.

  • Dla dowolnych a, b, cR zachodzi:
(a\leqslant b \land 0\leqslant c)\implies a\cdot c\leqslant b\cdot c.
  • Dla dowolnych a, bR spełniony jest warunek
|a\cdot b|=|a|\cdot|b|.
  • Nietrywialny pierścień uporządkowany (czyli taki, który ma więcej niż jeden element) ma nieskończenie wiele elementów.
  • Jeśli aR, to albo 0 < a, albo 0 < -a, albo a (gdzie przez x< y rozumie się relację xy i xy).
  • Pierścień uporządkowany R nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów dodatnich a, bR, dodatni jest również ich iloczyn a · b.
  • W pierścieniu uporządkowanym żaden element ujemny nie jest kwadratem innego elementu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]