Pierścień uporządkowany

Pierścieniem uporządkowanym nazywamy pierścień przemienny $R$ z porządkiem liniowym $\leqslant$ takim, że dla dowolnych $a,b,c\in R$ :

$a\leqslant b \implies a+c\leqslant b+c$
$(0\leqslant a \land 0\leqslant b)\implies 0\leqslant ab$ .

Element $a\in R$ nazywamy wówczas dodatnim, gdy $0\leqslant a \land a\ne 0$ . Element $a\in R$ nazywamy ujemnym gdy $a\leqslant 0 \land a\ne 0$ .

Przez wartość bezwzględną elementu $a\in R$ (oznaczaną $|a|$ ) rozumiemy

$|a|=\begin{cases} a, & \mbox{gdy } 0 \leqslant a \\ -a, & \mbox{w przeciwnym wypadku} \end{cases}$ ,

gdzie $-a$ oznacza element odwrotny do elementu $a$ względem dodawania.

[edytuj] Przykłady

Pierścieniami uporządkowanymi są: pierścień liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, pierścień liczb wymiernych i pierścień liczb rzeczywistych ze zwykłymi porządkami (dwa ostatnie przykłady są nawet ciałami uporządkowanymi).

Pierścienia uporządkowanego nie tworzą natomiast liczby zespolone.

[edytuj] Własności

W poniższych twierdzeniach przyjmujemy, że $R$ jest pierścieniem uporządkowanym.

Dla $a,b,c\in R$ dowolnych zachodzi: $(a\leqslant b \land 0\leqslant c)\implies a\cdot c\leqslant b\cdot c$ . Tą własnością czasem zastępuje się drugi punkt definicji.
Dla $a,b\in R$ dowolnych zachodzi: $|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$ .
Nietrywialny pierścień uporządkowany (czyli taki, który ma więcej niż jeden element) ma nieskończenie wiele elementów.
Jeśli $a\in R$ , to albo $0<a$ , albo $0<-a$ , albo $a=0$ (gdzie przez $x<y$ rozumiemy $x\leqslant y \land x\ne y$ ).
R nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych $a,b\in R$ dodatnich, dodatni jest również ich iloczyn $a\cdot b$ .
W pierścieniu uporządkowanym żaden element ujemny nie jest kwadratem innego elementu.