Element odwrotny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech \diamondsuit oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze S. Element x nazywa się elementem odwrotnym do y jeżeli spełnione są dwa warunki:

  1. x \;\diamondsuit\; y = e,
  2. y \;\diamondsuit\; x = e,

gdzie e oznacza element neutralny działania \diamondsuit.

Jeżeli działanie \diamondsuit zapisywane jest za pomocą symboli +, \; \oplus, \; \cup, \; \or, itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia -x. Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: *, \; \cdot, \; \otimes, \; \cap, \; \and, \; \star, itp. i oznaczamy x^{-1}

Elementy jednostronne[edytuj | edytuj kod]

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. "Zwykły" element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]