Poziom Fermiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Poziom Fermiego – w fizyce statystycznej, w statystyce Fermiego-Diraca, w układzie nieoddziałujących fermionów, najmniejsza energia o jaką zwiększy się energia układu fermionów po dodaniu jeszcze jednego elementu. Energia ta odpowiada maksymalnemu poziomowi energetycznemu, zajętemu przez fermion (elektron) w układzie znajdującym się w temperaturze zera bezwzględnego, w której wszystkie poziomy aż do energii Fermiego są zajęte, a powyżej wolne. Istnienie tego poziomu jest konsekwencją zakazu Pauliego, który z kolei jest konsekwencją tego, iż elektronyfermionami (podlegają statystyce Fermiego-Diraca).

W swobodnym gazie elektronowym stany kwantowe elektronu mogą być opisane przez jego pęd \vec{p}=\hbar \vec{k} (lub wektor falowy k) i spin. Dla nierelatywistycznych elektronów ich energia jest równa

E_{k}=\frac{p^2}{2m_{*}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m_{*}}

gdzie m* jest masą efektywną elektronu w krysztale lub masą spoczynkową w próżni.

Bardzo podobna sytuacja ma miejsce w środowisku o strukturze periodycznej, takim jak kryształ (elektrony niosą tam kwazipęd – analog pędu w układach periodycznych z funkcjami Blocha jako funkcjami własnymi). Energia Fermiego wyznacza w przestrzeni pędów pewną powierzchnię nazywaną powierzchnią Fermiego. Dla swobodnego gazu elektronowego jest to sfera. W temperaturze zera bezwzględnego powierzchnia ta rozdziela poziomy zajęte od niezajętych.

Zgodnie z zakazem Pauliego zajmowane są kolejne poziomy energetyczne do ostatniego, nazywanego poziomem Fermiego. Jego energię nazywa się energią FermiegoF). W temperaturze zera bezwzględnego energia Fermiego jest równa potencjałowi chemicznemu.

Pojęcie poziomu Fermiego dotyczy nie tylko elektronów w atomie wieloelektronowym ale wszystkich fermionów. Swobodny gaz fermionowy (np. gaz elektronowy w metalu czy białym karle) charakteryzuje się jeszcze pędem Fermiego. Pęd Fermiego pF jest pędem fermionu, którego energia jest równa energii Fermiego:

\varepsilon_{F}=E_{k_{F}}=\frac{p_{F}^2}{2m_{*}}=\frac{\hbar^2 k_{F}^2}{2m_{*}}

Energia Fermiego swobodnych elektronów jest związana z potencjałem chemicznym μ równaniem

\mu = \varepsilon _F \left[ 1 - \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{kT}{\varepsilon _F}\right) ^2 + \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{kT}{\varepsilon _F}\right)^4 + \cdots \right]

gdzie εF jest energią Fermiego, k jest stałą Boltzmanna a T jest temperaturą.
Dla temperatur mniejszych niż 10-5 K potencjał chemiczny jest w przybliżeniu równy energii Fermiego.