Przestrzeń Urysohna (topologia ogólna)

Przestrzeń Urysohna (albo przestrzeń T_2½) – przestrzeń topologiczna o tej własności, że każde dwa jej różne punkty mają otoczenia, których domknięcia są rozłączne. Własność bycia przestrzenią Urysohna zalicza się do własności oddzielania. Przestrzenie o tej własności rozważał po razu pierwszy Paweł Urysohn. Pojęcie przestrzeni Urysohna jest różne od pojęcia przestrzeni całkowicie T₂.

Przykłady i własności

• Każda regularna przestrzeń T₁ jest przestrzenią Urysohna.
• Istnieje semiregularna przestrzeń Urysohna, która nie jest regularna. Istnieje przestrzeń Hausdorffa, która nie jest przestrzenią Urysohna.
• Istnieje przestrzeń Urysohna, będąca przestrzenią Hausdorffa, która nie jest semiregularna: Niech w zbiorze liczb rzeczywistych będzie dana topologia dyskretna. Rozważmy zbiór

$X=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\cup \{p_{n}\colon n\in \mathbb {N} \},$

gdzie $-\infty ,\infty$ oraz punkty $p_{n}$ nie należą do zbioru liczb rzeczywistych. Rozszerzmy topologię dyskretną w $\mathbb {R}$ w następujący sposób: każde otoczenie otwarte punktu $\infty$ jest postaci $(a,\infty )\cup \{\infty \},$ każde otoczenie otwarte punktu $-\infty$ jest postaci $(-\infty ,a)\cup \{-\infty \}$ dla pewnej liczby rzeczywistej $a$ oraz każde otoczenie otwarte punktu $p_{n}$ jest postaci $\{p_{n}\}\cup P,$ gdzie zbiór $P$ jest sumą po prawie wszystkich liczbach naturalnych $k$ zbiorów postaci $(-k-1,-k)\cup (k,k+1).$

• Własność bycia przestrzenią Urysohna nie zachowuje się poprzez przekształcenia domknięto-otwarte, jest jednak własnością dziedziczną, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Urysohna jest również przestrzenią Urysohna.
• Produkt dowolnej rodziny przestrzeni Urysohna jest nadal przestrzenią Urysohna.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 83–84, 152–153.
• Willard Stephen: General Topology. Wyd. pierwsze. Reading Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 1970, s. 98–99.