Równoległość w geometrii hiperbolicznej

Zbiór półprostych o początku w punkcie $C$ można podzielić na dwa podzbiory: zbiór półprostych przecinających daną prostą $AB$ i zbiór półprostych nieprzecinających tej prostej. Półproste równoległe oddzielają te dwa zbiory od siebie i nie przecinają prostej $AB.$

Koncepcja równoległości jest oparta na następującym twierdzeniu geometrii absolutnej:

Dla każdego punktu $C$ i każdej prostej $r$ nieprzechodzącej przez punkt $C$ istnieją dokładnie dwa promienie na płaszczyźnie $Cr$ wychodzące z punktu $C,$ nieprzecinające prostej $r$ i oddzielające wszystkie promienie wychodzące z punktu $C,$ przecinające prostą $r$ od wszystkich pozostałych promieni, nieprzecinających prostej $r$.

O tych dwóch wyżej wspomnianych promieniach mówi się, że są równoległe do prostej $r$. Półproste te nie przecinają prostej $r.$ W sytuacji rysunku obok jeden z promieni jest równoległy do prostej $r=AB$ w kierunku promienia $AB$, a drugi jest równoległy w kierunku promienia $BA.$ Wynika stąd, że równoległość promienia do prostej (jest w tej definicji pewna asymetria) można przenieść na równoległość promieni:

Promień $r$ jest równoległy do promienia $s,$ jeśli jest równoległy do prostej wyznaczonej przez $s$ w kierunku $s$ lub jeśli jeden z tych promieni jest zawarty w drugim.

W definicji tej brakuje dwóch cech równoległości, które są bardzo ważne: symetrii i przechodniości. Cechy te można udowodnić metodami geometrii absolutnej:

Jeśli promień $p$ jest równoległy do promienia $q,$ to promień $q$ jest równoległy do promienia $p$.

Jeśli promień $p$ jest równoległy do promienia $q,$ a promień $q$ jest równoległy do promienia $r,$ to promień $p$ jest równoległy do promienia $r$.

Drugie z tych twierdzeń można udowodnić metodami geometrii uporządkowania. Zatem równoległość promieni jest relacją równoważności.

Własność równoległości można też wypowiedzieć dla dwóch prostych. Wynika ona z następującego twierdzenia Gaussa:

Równoległość promienia i prostej zachowuje się, gdy zmienimy położenie początku promienia przez odjęcie lub dodanie jakiegokolwiek odcinka.

Chodzi tu o odjęcie lub dodanie do promienia odcinka leżącego na prostej wyznaczonej przez promień o jednym z końców w początku promienia i obu końcach leżących po tej samej stronie prostej. Wynika stąd następująca definicja:

Dwie proste są równoległe jeśli jedna z nich zawiera promień równoległy do drugiej.

Różne wersje hiperbolicznego aksjomatu równoległości

Równoległe do prostej $AB$ w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – półokrąg prostopadły do absolutu)

Równoległe do prostej $AB$ w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – prostopadła do absolutu)

1. Dla pewnego punktu $A$ i pewnej prostej $p$ nieprzechodzącej przez $A$ istnieją co najmniej dwie proste równoległe do $p$ przechodzące przez $A$.
2. Dla każdego punktu $A$ i każdej prostej $p$ nieprzechodzącej przez $A$ istnieją co najmniej dwie proste równoległe do $p$ przechodzące przez $A.$
3. Istnieją dwa takie promienie równoległe, dla których suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°.
4. Dla każdych dwóch promieni równoległych, suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°.

Twierdzenia równoważne hiperbolicznemu aksjomatowi równoległości

1. Istnieje trójkąt, którego suma kątów jest mniejsza od 180°.
2. Suma kątów każdego trójkąta jest mniejsza od 180°.
3. Jeśli dwa’trójkąty są podobne, to są one przystające.
4. Istnieje trójkąt, na którym nie można opisać okręgu.
5. Nie w każdym trójkącie wysokości przecinają się w jednym punkcie.
6. Punkty jednej z dwóch prostych równoległych nie są w stałej odległości od drugiej z nich. Ekwidystanta jest krzywą niebędącą prostą.
7. Żadne trzy punkty ekwidystanty nie leżą na jednej prostej.
8. Odległość punktów jednej z dwóch prostych równoległych nie są w ograniczonej odległości od drugiej z nich.
9. Prostopadła i pochyła do danej prostej nie zawsze się przecinają.
10. Nie przez każdy punkt wnętrza kąta można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta.
11. Suma kątów trójkąta nie jest stała.
12. Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie kąty są równe.

Z przechodniości relacji równoległości prostych, tzn. z warunku, że jeśli dwie proste są równoległe do trzeciej, to są równoległe, wynika postulat Euklidesa.

Własności prostych i promieni równoległych

Dowód twierdzenia Janosa Bolyai.

• Twierdzenie J. Bolyai’a: Jeśli dwa promienie równoległe uzna się za przecinające się w nieskończoności, to kąt między nimi można uznać za równy zero.

Niech punktem przecięcia w nieskończoności promieni równoległych będzie punkt $C_{\infty }.$ Niech $\{C_{n}\}$ będzie takim ciągiem punktów, że $AC_{k}=C_{k}C_{k+1}.$ Zatem $\triangle AC_{k}C_{k+1}$ jest równoramienny. Wtedy z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta kąt $\sphericalangle AC_{k+1}C$ jest mniejszy od połowy kąta $\alpha _{k}=\sphericalangle AC_{k}C.$ Jeśli $n\to \infty ,$ to $C_{n}\to C_{\infty },$ czyli $\alpha _{n}\to \sphericalangle AC_{\infty }C,$ a $\alpha _{n}\to 0.$ Dlatego można przyjąć, że $\sphericalangle AC_{\infty }C=0$.

• Odległości punktów jednej z prostych równoległych od drugiej maleją do zera w kierunku równoległości i nieograniczenie rosną w kierunku przeciwnym.
• Równoległość promieni jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią na zbiorze wszystkich promieni geometrii hiperbolicznej. Jest to zatem relacja równoważności.

Zobacz też

• czworokąt Saccheriego
• defekt trójkąta
• kąt równoległości
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• prosta zagradzająca kąt
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny

Bibliografia

• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.brak strony w książce
• Forder H.G.: The Foundations of Euclidean Geometry. New York: 1958.brak strony w książce
• Sommerville D.M.Y.: The Elements of Non-Euclidean Geometry. London: 1929.brak strony w książce
• Gauss C.F.: Werke. T. 8. Göttingen: 1900.brak strony w książce
• Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930. (ros.).brak strony w książce
• Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: 1961.brak strony w książce
• Широков П.А.: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Wyd. 2. Москва: Наука, 1983.brak strony w książce
• Janos Bolyai. La science absolue de l’espace. „Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux”. 5, s. 207–248, 1867. 
• Janos Bolyai: Appendix. 1832.brak strony w książce