Relacja zwrotna

Relacja zwrotna to relacja, która zachodzi dla każdej pary postaci $(x,x) \,$. Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywamy zwrotną, gdy:

$\forall x \in X: x \ \varrho\ x .$

Relacja przeciwzwrotna to relacja, która nie zachodzi dla żadnej pary uporządkowanej postaci $(x,x) \,$. Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywamy przeciwzwrotną, gdy:

$\forall x \in X: \lnot (x \ \varrho\ x) .$

Przykłady

• Każda relacja równoważności jest zwrotna.
• Relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych jest przeciwzwrotna.
• Weźmy relację $\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n \ \varrho\ m \,$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1 \,$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot(10 \ \varrho\ 10) \$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1 = 21 = 7*3$) oraz $2 \ \varrho\ 2 \$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1 = 5$ ).

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości.. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155.

Zobacz też

• relacja symetryczna
• relacja antysymetryczna
• relacja przeciwsymetryczna
• częściowy porządek