Rozmaitość różniczkowa zanurzona w przestrzeni euklidesowej

Rozmaitość różniczkowa (w $\mathbb {R} ^{n}$), czasem: rozmaitość różniczkowa zanurzona w $\mathbb {R} ^{n}$ – podzbiór $\mathbb {R} ^{n},$ który lokalnie, tzn. w otoczeniu każdego punktu, wygląda jak $\mathbb {R} ^{k}$ (mówiąc ściślej: jak zbiór otwarty w $\mathbb {R} ^{k}$) dla pewnego $k\leqslant n,$ ponadto nie ma „kantów”. Liczba $k$ jest taka sama dla każdego punktu rozmaitości i nazywa się ją wymiarem rozmaitości różniczkowej. Rozmaitości różniczkowe (zanurzone w $\mathbb {R} ^{n}$) stanowią uogólnienie zbiorów otwartych, krzywych i powierzchni w $\mathbb {R} ^{n}.$ Pojawiają się w sposób naturalny w wielu zagadnieniach matematyki czystej. Np. metoda mnożników Lagrange’a matematycznie sprowadza się do szukania ekstremum pewnej funkcji zdefiniowanej na rozmaitości różniczkowej.

Dla funkcji pomiędzy rozmaitościami możliwe jest zdefiniowanie różniczkowalności i pochodnej. Dzięki temu możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego na rozmaitościach. Poprzez wprowadzeniu tzw. form różniczkowych możliwe jest także uprawianie rachunku całkowego na rozmaitościach.

Rozmaitości różniczkowe zanurzone w $\mathbb {R} ^{n}$ są wystarczające na potrzeby wielu zagadnień matematyki, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. Z tego powodu wprowadza się ogólne, abstrakcyjne rozmaitości różniczkowe, które niekoniecznie muszą być podzbiorami $\mathbb {R} ^{n}$ i mogą mieć znacznie bardziej złożoną naturę.

Definicja

Podzbiór $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ nazywa się $k$-wymiarową rozmaitością różniczkową (w $\mathbb {R} ^{n}$), jeżeli dla każdego $p\in M$ istnieje zbiór otwarty $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ zawierający $p,$ zbiór otwarty $W\subset \mathbb {R} ^{k}$ oraz funkcja różnowartościowa i klasy $C^{\infty }$ $g\colon W\to \mathbb {R} ^{n}$ taka, że

(1) $g(W)=V\cap M.$

(2) Pochodna $dg(x)$ ma rząd $k$ dla każdego $x\in W.$

(3) Funkcja $g^{-1}:g(W)\to \mathbb {R} ^{k}$ jest ciągła.

Współrzędne, mapy i atlasy

Funkcję $g$ z definicji rozmaitości różniczkowej nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu $p.$ Funkcję do niej odwrotną $f:=g^{-1}$ nazywa się układem współrzędnych w otoczeniu punktu $p$. Parę $(V\cap M,f)$ nazywa się mapą w otoczeniu punktu $p\in V\cap M.$ Zbiór $V\cap M$ nazywa się dziedziną mapy $(V\cap M,f).$ Mapy oznacza się zwykle $(U,\varphi ),\ (V,\psi )$ itd.

Na $k$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej funkcje $x^{i}:=\pi ^{i}\circ \varphi \colon U\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,k,$ gdzie $\pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ oznacza rzutowanie na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej $\mathbb {R} ^{k},$ tzn. funkcję daną wzorem

$\pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{k}):=x_{i},$

nazywa się współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę $(U,\varphi ).$

Zbiór map $\{(U_{i},\varphi _{i})\}_{i\in I},$ których dziedziny pokrywają całe $M,$ nazywa się atlasem.

Mając dwie mapy $(U_{1},\varphi _{1}),\ (U_{2},\varphi _{2}),\ U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset ,$ można jedne współrzędne przeliczać na drugie za pomocą odwzorowań zamiany współrzędnych $\varphi _{2}\circ \varphi _{1}^{-1}\colon \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})$ i $\varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}\colon \varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2}).$

Przestrzeń styczna do rozmaitości

Definicja

Przestrzenią styczną do $k$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej $M$ w $\mathbb {R} ^{n}$ w punkcie $p\in M$ nazywa się obraz $\mathbb {R} ^{k}$ przez pochodną parametryzacji $T_{p}M:=d\varphi ^{-1}(a)(\mathbb {R} ^{k}),$ gdzie $\varphi ^{-1}(a)=p.$ Ponieważ pochodna $d\varphi ^{-1}(a)$ ma rząd $k,$ to przestrzeń styczna $T_{p}M$ jest $k$-wymiarową podprzestrzenią liniową $\mathbb {R} ^{n}.$

Baza naturalna dla mapy

Mapa $(U,\varphi )$ w otoczeniu punktu $p\in M$ na $k$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej indukuje bazę przestrzeni stycznej $T_{p}M$ daną wzorami

$\partial _{i}:=d\varphi ^{-1}(a)(e_{i}),\quad i=1,\dots ,k,$

gdzie $a=\varphi (p),$ a $(e_{i})_{i=1}^{k}$ oznacza bazę standardową $\mathbb {R} ^{k}.$ Nazywa się ją bazą naturalną dla mapy $(U,\varphi ).$ Wektory tej bazy oznacza się także ${\frac {\partial }{\partial \varphi _{i}}},$ ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ lub podobnie.

Odwzorowanie styczne

Przestrzeń styczna do rozmaitości pozwala uogólnić pojęcie pochodnej funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami. Niech $M_{1}\subset \mathbb {R} ^{n_{1}},\ M_{2}\subset \mathbb {R} ^{n_{2}}$ będą rozmaitościami różniczkowymi. Rozpatrzmy funkcję $f\colon M_{1}\to M_{2}.$ Gdyby $M_{1},\ M_{2}$ były zwykłymi, dowolnymi zbiorami, to niemożliwe byłoby różniczkowanie $f$ nawet pomimo że $M_{1},\ M_{2}$ to podzbiory $\mathbb {R} ^{n},$ ponieważ pochodna jest zawsze zdefiniowana dla funkcji zdefiniowanej na zbiorze otwartym. Jednakże, ponieważ $M_{1},\ M_{2}$ są rozmaitościami różniczkowymi i mają dodatkową strukturę, to można uogólnić pojęcie pochodnej funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ na przypadek funkcji pomiędzy $M_{1}$ i $M_{2}.$

Definicja

Niech $M_{1}\subset \mathbb {R} ^{n_{1}},\ M_{2}\subset \mathbb {R} ^{n_{2}}$ będą $k_{1}$ i $k_{2}$-wymiarowymi rozmaitościami różniczkowymi, a $(U_{1},\varphi _{1}),\ (U_{2},\varphi _{2})$ – mapami na nich. Powiemy, że funkcja $f\colon M_{1}\to M_{2}$ jest różniczkowalna klasy $C^{r}$ jeżeli $\varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}\colon \varphi _{1}(U_{1})\to \mathbb {R} ^{k_{2}}$ jest różniczkowalne klasy $C^{r}.$ Odwzorowaniem stycznym funkcji $f$ w punkcie $p$ nazywamy odwzorowanie $T_{p}f\colon T_{p}M_{1}\to T_{f(p)}M_{2}$ dane wzorem

$T_{p}f(v):=d\varphi _{2}^{-1}(\varphi _{2}(f(p)))\circ d(\varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})(\varphi _{1}(p))(w),$

gdzie $w\in \mathbb {R} ^{k_{1}}$ jest takim wektorem, że

$d\varphi _{1}^{-1}(\varphi _{1}(p))(w)=v.$

Uwagi

(1) Odwzorowanie styczne funkcji $f$ w punkcie $p$ nazywa się też pochodną funkcji $f$ w punkcie $p$ albo różniczką funkcji $f$ w punkcie $p$ i oznacza $Df(p),\ df(p)$ lub podobnie.

(2) $\varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}$ jest już funkcją z $\mathbb {R} ^{k_{1}}$ w $\mathbb {R} ^{k_{2}}$ może więc być różniczkowane w zwykły sposób.

(3) $d(\varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})(\varphi _{1}(p))(w)$ jest wektorem w $\mathbb {R} ^{k_{2}}.$ Przekształcenie liniowe $d\varphi _{2}^{-1}(\varphi _{2}(f(p)))$ przenosi ten wektor w $T_{f(p)}M_{2}.$

(4) W szczególnym przypadku gdy $M_{1},\ M_{2}$ są zbiorami otwartymi, to posługując się mapami $(M_{1},\mathrm {id} _{M_{1}}),\ (M_{2},\mathrm {id} _{M_{1}})$ powracamy do zwykłej definicji pochodnej.

(5) Odwzorowanie styczne spełnia regułę łańcuchową. Jeżeli $f\colon M_{1}\to M_{2}$ jest różniczkowalne w punkcie $p,$ a $g\colon M_{2}\to M_{3}$ jest różniczkowalne w punkcie $f(p)$ to różniczkowalne jest złożenie $g\circ f$ i

$T_{p}(g\circ f)=T_{f(p)}g\circ T_{p}f..$

(6) Jeżeli $f\colon M\to \mathbb {R}$ jest różniczkowalne, to licząc odwzorowanie styczne dostajemy

$T_{p}f(v)=T_{p}f\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))v_{i}.$

(7) W szczególności dla współrzędnych wyznaczonych przez mapę $x^{i}:=\pi ^{i}\circ \varphi$ dostajemy

$T_{p}x^{i}(v)=T_{p}x^{i}\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=v_{i}.$

Wynika z tego, że odwzorowania styczne $T_{p}x^{i}$ stanowią bazę dualną do bazy naturalnej dla mapy $(U,\varphi ).$ W bazie tej możemy odwzorowanie styczne funkcji $f\colon M\to \mathbb {R}$ zapisać

$T_{p}f=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))T_{p}x^{i}.$

(8) Powyższy wzór zapisuje się zwykle w następującej postaci, ponieważ pozwala to nadać wielu klasycznym wzorom klasyczny wygląd

$df(p)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))dx^{i}$

(Dla uproszczenia piszemy $dx^{i}$ zamiast $dx^{i}(p)$).

Pola tensorowe na rozmaitości

Pole tensorowe na rozmaitości różniczkowej $M$ to funkcja $t\colon M\to \bigcup _{p\in M}T_{s}^{r}(T_{p}M)$ taka, że $t(p)\in T_{s}^{r}(T_{p}M)$ dla każdego $p\in M,$ gdzie $T_{s}^{r}(T_{p}M)$ oznacza przestrzeń liniową tensorów typu $(r,s).$ Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, którą punktom z rozmaitości przypisuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie.

Szczególne znaczenie mają antysymetryczne kowariantne pola tensorowe, czyli formy różniczkowe, ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować.

Orientowalność i orientacja rozmaitości

Mówimy, że dyfeomorfizm $\Phi \colon U\to V$ zbiorów otwartych w $\mathbb {R} ^{n}$ zachowuje orientację jeżeli

$\det[d\Phi (x)]>0$

dla każdego $x\in U$ i że zmienia orientację na przeciwną jeżeli

$\det[d\Phi (x)]<0$

dla każdego $x\in U.$

Powiemy, że atlas $A=\{(U_{i},\varphi _{i})_{i\in I}\}$ jest zorientowany jeżeli dla dowolnych dwóch map $(U_{1},\varphi _{i}),\ (U_{2},\varphi _{2}),\ U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ należących do atlasu $A$ odwzorowanie zamiany współrzędnych $\varphi _{2}\circ \varphi _{1}^{-1}\colon \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})$ zachowuje orientację.

Rozmaitość różniczkową $M$ nazywamy orientowalną jeżeli istnieje na niej atlas zorientowany.

Mówimy, że dwa atlasy $A_{1},\ A_{2}$ na $M$ są zgodnie zorientowane jeżeli ich suma $A_{1}\cup A_{2}$ jest atlasem zorientowanym. Relacja zgodnego zorientowana jest relacją równoważności w rodzinie atlasów na $M$ i w związku z tym wyznacza podział atlasów na klasy abstrakcji. Te klasy abstrakcji nazywa się orientacjami rozmaitości $M.$ Parę: rozmaitość różniczkową $M$ wraz z orientacją nazywa się rozmaitością różniczkową zorientowaną.

Rozmaitości różniczkowe z brzegiem w $\mathbb {R} ^{n}$

Definicja

Jeżeli w definicji rozmaitości różniczkowej zbiór otwarty $W$ w $\mathbb {R} ^{k}$ zastąpi się zbiorem otwartym $W$ w $\mathbb {R} _{-}^{k}:=\{(x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k};\ x_{1}\leqslant 0\},$ to otrzyma się tzw. rozmaitość różniczkową z brzegiem (w $\mathbb {R} ^{n}$).

Uwagi

Rozmaitości różniczkowe z brzegiem są nieznacznym uogólnieniem rozmaitości różniczkowych. Są potrzebne po to, żeby dało się sformułować Ogólne twierdzenie Stokesa.

Brzeg rozmaitości różniczkowej

Brzegiem $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej z brzegiem $M$ nazywa się zbiór tych punktów $p\in M,$ że dla pewnej parametryzacji $\varphi ^{-1}$ w otoczeniu $p$

$\varphi ^{-1}(p)=(0,x_{2},\dots ,x_{n}).$

Brzeg oznacza się $\partial M.$ W definicji brzegu wykorzystuje się pewną parametryzację, ale definicja jest niezależna od przyjętej parametryzacji. Niepusty brzeg $\partial M$ $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej z brzegiem $M$ jest rozmaitością różniczkową $(n-1)$-wymiarową.

Orientacja brzegu

Orientacja rozmaitości $M$ zadana przez atlas $\{(U_{i},\varphi _{i})_{i\in I}\}$ indukuje orientację brzegu $\partial M$ zadaną przez atlas

$A_{0}:=\{(U_{i}\cap \partial M,\varphi _{i}|_{U_{i}\cap \partial M});\ U_{i}\cap \partial M\neq \emptyset ,\ i\in I\}.$

Ogólne rozmaitości różniczkowe

Rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w $\mathbb {R} ^{n}$ są wystarczające na potrzeby wielu działów matematyki: analizy matematycznej, teorii optymalizacji, różniczkowych równań cząstkowych, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. W fizyce rozmaitość różniczkowa modeluje czasoprzestrzeń jednakże użycie rozmaitości różniczkowych (zanurzonych) w $\mathbb {R} ^{n}$ dla $n>4$ rodziłoby wiele pytań:

(a) Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiarów?

(b) Jak wykryć dodatkowe wymiary?

(c) Ile wynosi $n$?

Itd. Z tego powodu rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w $\mathbb {R} ^{n}$ trzeba uogólnić na potrzeby fizyki. Robi się to „wymazując” odwołanie do $\mathbb {R} ^{n}$ w definicji rozmaitości różniczkowej. Rozmaitość różniczkową definiuje się jako po prostu przestrzeń topologiczną Hausdorfa (niekoniecznie podzbiór $\mathbb {R} ^{n}$) wraz ze zbiorem map na rozmaitości, czyli atlasem.

Takie ogólne rozmaitości mogą mieć znacznie bardziej skomplikowaną naturę. Poprzednie definicje przestrzeni stycznej i pochodnej funkcji $f\colon M_{1}\to M_{2}$ tracą sens. Teraz przestrzeń styczną $T_{p}M$ w punkcie $p\in M$ definiuje się jako zbiór krzywych przechodzących przez punkt $p$ tzn. funkcji postaci $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to M$ takich, że $\gamma (0)=p,$ przy czym utożsamia się ze sobą krzywe, które po przeniesieniu do $\mathbb {R} ^{n}$ za pomocą układu współrzędnych $\varphi$ mają równy wektor styczny w zerze, tzn. dla których

$\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma _{1})\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma _{2})\right|_{t=0}.$

Mówiąc ściślej wektory styczne definiuje się jako klasy abstrakcji względem relacji równoważności $\sim$ zdefiniowanej powyższą równością. Ta relacja równoważności nie zależy od wyboru układu współrzędnych $\varphi .$

Funkcja $\Theta _{\varphi }\colon T_{p}M\to \mathbb {R} ^{n}$ dana wzorem

$\Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim }):=\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma )\right|_{t=0}$

jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z $\mathbb {R} ^{n}$ do $T_{p}M$ tzn. dodawanie i mnożenie przez skalar wektorów stycznych definiuje się

$[\gamma _{1}]_{\sim }+[\gamma _{2}]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\Theta _{\varphi }([\gamma _{1}]_{\sim })+\Theta _{\varphi }([\gamma _{2}]_{\sim }))$

$\alpha \cdot [\gamma ]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\alpha \cdot \Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim }))$

Za pomocą $\Theta _{\varphi }$ można także zdefiniować pochodną funkcji postaci $f\colon M_{1}\to M_{2}$ tzn. funkcji pomiędzy rozmaitościami.

Mimo różnic idea w przypadku ogólnych rozmaitości różniczkowych pozostaje taka sama.

Przykłady

(1) Zbiór otwarty $U$ w $\mathbb {R} ^{n}$ jest trywialnym przykładem $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej. W jego przypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy $(U,\mathrm {id_{U}} ),$ gdzie $\mathrm {id_{U}}$ jest identycznością na $U,$ czyli funkcją $\mathrm {id} _{U}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ daną wzorem

$\mathrm {id} _{U}(x):=x.$

W szczególności $\mathbb {R} ^{n}$ jest $n$-wymiarową rozmaitością różniczkową.

(2) Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym. Wykres funkcji $f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$ tzn. zbiór

$\mathrm {graf} f:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{n+m};\ y=f(x)\}$

jest dosyć trywialną $n$-wymiarową rozmaitością różniczkową w $\mathbb {R} ^{n+m}$ o ile funkcja $f$ jest klasy $C^{\infty }.$ W jej wypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy $(\mathrm {graf} f,\varphi ),$ gdzie $\varphi$ jest dane wzorem

$\varphi (x,y):=x.$

(3) Najprostszą nietrywialną rozmaitością różniczkową jest okrąg jednostkowy $M:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2};\ x^{2}+y^{2}=1\}.$ W tym wypadku potrzebne są już co najmniej dwie parametryzacje i dwa układy współrzędnych. Pierwszą parametryzację można zdefiniować jako $\varphi _{1}^{-1}:(-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} ^{2},$

$\varphi _{1}^{-1}(\phi ):=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

Parametr $\phi$ jest kątem mierzonym od osi $x,$ przy czym punktom poniżej osi $x$ przypisujemy ujemny kąt. Ta parametryzacja wystarcza do sparametryzowania całego $M$ z wyjątkiem punktu $(-1,0).$ W jego okolicach potrzebna jest jakaś inna parametryzacja.

Układ współrzędnych $\varphi _{1}\colon M\setminus \{(-1,0)\}\to \mathbb {R}$ jest dany wzorem

$\varphi _{1}(x,y)={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{w prawej połowie okręgu,}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{gdy }}(x,y)=(0,1),\\\pi +\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{w górnej lewej ćwiartce}},\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{gdy }}(x,y)=(0,-1),\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{w dolnej lewej ćwiartce.}}\end{cases}}$

Powyższy układ współrzędnych nie pokrywa punktu $(-1,0).$ W jego otoczeniu trzeba wybrać inną parametryzację i układ współrzędnych. Np. $\varphi _{2}^{-1}:\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ^{2}$ dane wzorem

$\varphi _{2}^{-1}(\phi ):=(-\cos \phi ,\sin \phi )$

oraz $\varphi _{2}:\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2};\ x^{2}+y^{2}=1,\ x<0\}\to \mathbb {R}$ dane wzorem

$\varphi _{2}(x,y)=-\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right).$

(4) Niepusty przedział $(a,b)$ jako zbiór otwarty w $\mathbb {R}$ jest rozmaitością różniczkową. Można zadać pytanie czy przedział $[a,b]$ jest także rozmaitością różniczkową. Odpowiedź jest przecząca. Przedziału $[a,b]$ w okolicach punktów $a$ i $b$ nie da się sparametryzować, tzn. dla punktów $a$ i $b$ nie da się znaleźć zbiorów otwartych $V,W\subset \mathbb {R}$ i funkcji $g\colon W\to \mathbb {R}$ z definicji rozmaitości różniczkowej, które by ją spełniały. Jednakże przedział $[a,b]$ jest rozmaitością różniczkową z brzegiem równym $\partial M=\{a,b\}.$

Bibliografia

• M. Spivak: Analiza na rozmaitościach.brak strony w książce
• J. Musielak, L. Skrzypczak: Analiza matematyczna. Tom III. Część 2..brak strony w książce
• W. Wojtyński: Grupy i algebry Liego.brak strony w książce