Rząd macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.

Jeśli w powyższej definicji zastąpimy słowo "kolumna" słowem "wiersz" dostaniemy równoważną definicję rzędu[1].

Istnieją także inne równoważne definicje rzędu, oto dwie z nich:

  • Rząd macierzy jest to wymiar powłoki liniowej rozpiętej na wektorach będących kolumnami (wierszami) macierzy.
  • Rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy.

Rząd macierzy  A w polskiej literaturze oznacza się zazwyczaj symbolem \operatorname{rz}A. W literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia \operatorname{rk}A oraz \operatorname{rank}A.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że A jest macierzą o wymiarze  m \times n . Wówczas:

  •  \operatorname{rz} A \leqslant \min (m,n) , gdy  \operatorname{rz} A = \min (m,n) A jest nazywana macierzą pełnego rzędu.
  •  \operatorname{rz} A = 0 \Leftrightarrow A = 0 (tj.  A jest macierzą zerową).
  • Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rząd równy jest jej stopniowi.
  • Jeśli  B jest macierzą o wymiarze  n \times k rzędu  n , to  \operatorname{rz} (AB) = \operatorname{rz}A. Podobnie, jeśli  C jest macierzą o wymiarze  l \times m rzędu  m , to  \operatorname{rz}(CA) = \operatorname{rz}A.
  • Dla macierzy kwadratowych  A i  B stopnia  n zachodzi nierówność
     \operatorname{rz} A + \operatorname{rz} B - n \leqslant \operatorname{rz} (AB)
nazywana nierównością Sylvestera o rzędach.

Rząd przekształcenia liniowego[edytuj | edytuj kod]

Niech V i W będą, odpowiednio, n- i m-wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz  A : V \to W będzie przekształceniem liniowym. Jeśli (v_1, \ldots, v_n) i (w_1, \ldots, w_m)bazami przestrzeni, odpowiednio, V i W, to przekształcenie A można utożsamiać z macierzą o m wierszach i n kolumnach. Okazuje się, że rząd tej macierzy nie zależy od wyboru baz (chociaż ona sama tak). Rząd macierzy przekształcenia liniowego nazywamy rzędem przekształcenia liniowego. Liczba ta ma związek z własnościami samego przekształcenia:

  • Przekształcenie  A jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy n.
  • Przekształcenie  A jest "na" wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy m.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Definicje mogą nie być równoważne, jeśli elementy macierzy będą należały do pierścienia nie będącego ciałem. Może się nawet zdarzyć, że żadnej z tych definicji nie da się poprawnie wprowadzić.