H-nieskończoność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
Układy statyczne - Układy dynamiczne
Układy liniowe - Układy nieliniowe
Układy stacjonarne - Układy niestacjonarne
Układy deterministyczne - Układy stochastyczne
Układy o parametrach skupionych - Układy o parametrach rozłożonych
Układy ciągłe - Układy dyskretne


Wybrane typy regulacji
Regulacja stałowartościowa
Regulacja nadążna
Regulacja optymalna
Regulacja adaptacyjna


Metody klasyczne
Opis typu wejście-wyjście
Stabilność
Transmitancja
Charakterystyki czasowe
Regulacja PID
Charakterystyki częstotliwościowe
Linie pierwiastkowe
Korekcja fazy


Nowoczesna teoria sterowania
Równania stanu - Stan układu
Sterowalność - Przesuwanie biegunów
Regulator liniowo-kwadratowy
Obserwowalność - Obserwator stanu
Filtr Kalmana
Regulator LQG
Sterowanie predykcyjne
Krzepkość - H-nieskończoność


Inne zagadnienia
identyfikacja systemów


Dziedziny powiązane
Teoria układów dynamicznych
Przetwarzanie sygnałów
Sztuczna inteligencja
Teoria decyzji
Metody numeryczne


Perspektywa historyczna
Historia automatyki
Teoretycy sterowania

H-nieskończoność (H, sterowanie H) − w teorii sterowania termin odnoszący się do metod syntezy regulatorów, które pozwalają na uzyskanie krzepkości sterowania lub krzepkości stabilności w układach regulacji. W metodach tych problem sterowania definiuje się jako zadanie sterowania optymalnego a następnie projektuje się regulator, który może takie zadanie wykonać.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Termin H pochodzi od nazwy przestrzeni matematycznej, w której zachodzi optymalizacja. H jest przestrzenią funkcji, o wartościach będących macierzami, które są analityczne i ograniczone w otwartej prawej stronie płaszczyzny zespolonej, zdefiniowanej nierównością Re(s) > 0; Norma H stanowi maksymalną wartość osobliwą tej funkcji w tej przestrzeni. (Można to zinterpretować jako maksymalne wzmocnienie w dowolnym kierunku i dla dowolnej częstotliwości; dla systemów jednowymiarowych, jest to maksymalna amplituda charakterystyki częstotliwościowej.) Metody H można wykorzystać do minimalizacji wpływu zaburzeń w układach zamkniętych (w układach regulacji z zamknietą pętlą sprzężenia zwrotnego) - w zależności od sposobu sformułowania problemu, miara tego wpływu odnosi się do stabilności albo do sterowania.

Jednoczesna optymalizacja krzepkiego sterowania i krzepkiej stabilności jest trudna do uzyskania. Jedna z metod, która bliska jest uzyskaniu tego to metoda H kształtująca pętlę (sprzeżenia zwrotnego układu). W metodzie tej stosuje się koncepcje klasycznej teorii sterowania w odniesieniu do wielowymiarowych charakterystyk częstotliwościowych tak by uzyskać odpowiednio krzepkie sterowanie a następnie optymalizuje się charakterystykę w pobliżu pasma przenoszenia układu tak by osiągnąć odpowiednio krzepką stabilność.

Syntezę regulatora H można przeprowadzić za pomocą odpowiedniego oprogramowania komercyjnego dostępnego na rynku.

Zalety i wady[edytuj | edytuj kod]

Metody H-nieskończoność mają tą przewagę nad metodami klasycznej teorii sterowania, że można je z łatwością zastosować do systemów wielowymiarowych ze sprzeżeniami skrośnymi. Z drugiej jednak strony korzystanie z tych metod wymaga znajomości właściwych zagadnień matematyki, potrzebny jest też dobry model sterowanego układu. Duże znaczenie ma odpowiednie sformułowanie problemu, gdyż każdy regulator jaki powstanie w wyniku syntezy będzie optymalny tylko w sformułowanym sensie - niewłaściwa optymalizacja często zamiast polepszać jedynie pogarsza sterowanie. Ponadto ograniczenia nieliniowe takie jak nasycenie ogólnie rzecz biorąc nie są odpowiednio traktowane.

Sformułowanie problemu[edytuj | edytuj kod]

Po pierwsze proces musi zostać przedstawiony zgodnie ze standardową konfiguracją:

H-infty plant representation.png

Obiekt P ma dwa wejścia, egzogeniczne wejście w, które obejmuje sygnał wartości zadanej i zakłócenia, oraz sterowaną zmienną wyjściową u. Są też dwa wyjścia, sygnały uchybu z, które mają być zminimalizowane, i mierzona zmienna v, która ma być wykorzystana do sterowania systemem. Zmienna v używana jest w K do wyliczenia zmiennej sterowanej u. Wszystkie wymienione zmienne są wektorami, a P i Kmacierzami.

Można to wyrazić wzorami:

\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = \mathbf{P}(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}
u = \mathbf{K}(s) \, v

Można zatem zapisać zależność z od w jako:

z=F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})\,w

F_\ell zwaną dolną liniową transformacją ułamkową (gdzie indeks l to skrót od ang. lower czyli dolny) można wyrazić wzorem:

F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K}) = P_{11} + P_{12}\,\mathbf{K}\,(I-P_{22}\,\mathbf{K})^{-1}\,P_{21}

Celem projektu sterowania \mathcal{H}_\infty jest odnalezienie regulatora \mathbf{K} takiego, że F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K}) będzie minimalizowane zgodnie z normą \mathcal{H}_\infty. Taka sama definicja ma zastosowanie do projektu sterowania \mathcal{H}_2. Normę z nieskończonością dla macierzy transmitancji F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K}) definiuje się następująco:

||F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})||_\infty = \sup_\omega \bar{\sigma}(F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})(j\omega))

gdzie \bar{\sigma} to maksimum wartości osobliwej macierzy F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})(j\omega).

Osiągalna norma H dla układu z zamkniętą pętlą (sprzężenia zwrotnego) dana jest macierzą D11 (gdzie układ P jest dany w postaci (A, B1, B2, C1, C2, D11, D12, D22, D21)). Istnieje kilka dróg dojścia do sformułowania regulatora H:

Kształtowanie pętli H-nieskończoność[edytuj | edytuj kod]

Kształtowanie pętli H-nieskończoność to metoda projektowania współczesnej teorii sterowania, która łączy tradycyjne, intuicyjne metody klasycznej teorii sterowania (takie jak całka wrażliwości Bode'go) z metodami optymalizującymi H-nieskończoność. Istota metody polega na tym, że najpierw opisuje się oczekiwane przebiegi charakterystyk i własności redukcji szumu poprzez rozważenie transmitancji w dziedzinie częstotliwości; tak "ukształtowaną" pętlę (sprzężenia zwrotnego) poddaje się następnie operacjom optymalizującym mającym na celu nadanie jej cech krzepkości. Nadawanie cech krzepkości zwykle ma mały wpływ na niskie i wysokie częstotliwości, ale charakterystyka wokół przecięcia wzmocnienia jednostkowego (częstotliwość, przy której amplituda wzmocnienia wynosi 1 nazywa się częstotliwością wzmocnienia jednostkowego lub częstotliwością przecięcia, zob. też charakterystyka częstotliwościowa) jest tak dostosowywana by zmaksymalizować zapas stabilności układu. Kształtowanie pętli H-nieskończoność może być stosowane do systemów wielowymiarowych, można je przeprowadzić z wykorzystaniem odpowiedniego oprogramowania komercyjnego. Metoda ta została z powodzeniem zaimplementowana w rozwiązaniach przemysłowych[1][2].

Przypisy

  1. R. Hyde, K. Glover and G. T. Shanks, Computing and Control Engineering Journal, 1995, 6(1):11–16
  2. D. J. Auger, S. Crawshaw and S. L. Hall, Proceedings of the UKACC International Conference on Control, 2008

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]