Subróżniczka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Funkcja wypukła (niebieski) i „podstyczne” w x0 (czerwony).

Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon I \to \mathbb R będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem f(x) = |x| jest nieróżniczkowalna dla x = 0. Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego x_0 należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt \bigl(x_0, f(x_0)\bigr), która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu f. Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Subpochodną funkcji wypukłej f\colon I \to \mathbb R w punkcie x_0 należącym do przedziału otwartego I nazywa się taką liczbę rzeczywistą c, że

f(x) - f(x_0) \geqslant c(x - x_0)

dla każdego x należącego do I. Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie x_0 jest niepustym przedziałem domkniętym [a, b], gdzie a oraz b oznaczają granice jednostronne

a = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

oraz

b = \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},

które zawsze istnieją i spełniają a \leqslant b.

Zbiór [a, b] wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji f w punkcie x_0.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie funkcja wypukła f(x) = |x|. Jej subróżniczką w początku układu jest przedział [-1, 1]. subróżniczka w dowolnym punkcie x_0 < 0 jest równa zbiorowi jednoelementowemu \{-1\}, zaś w punktach x_0 > 0 jest nią zbiór \{1\}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcja wypukła f\colon I \to \mathbb R jest różniczkowalna w punkcie x_0 wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w x_0.
  • Punkt x_0 jest minimum globalnym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu f w punkcie \bigl(x_0, f(x_0)\bigr). Własność ta jest uogólnieniem faktu, iż pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.

Subgradient[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: gradient (matematyka).

Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli f\colon U \to \mathbb R jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej \mathbb R^n, to wektor \mathbf v tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie \mathbf x_0 należącym do U, jeśli dla każdego \mathbf x z U zachodzi

f(\mathbf x)-f(\mathbf x_0) \geqslant \mathbf v \cdot (\mathbf x - \mathbf x_0),

gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.

Zbiór wszystkich subgradientów w x_0 nazywa się subróżniczką w \mathbf x_0 i oznacza symbolem \part f(\mathbf x_0). Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).

Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe f\colon U \to \mathbb R określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej V. Funkcjonał \mathbf v^* należący do przestrzeni sprzężonej V^* nazywa się subgradientem w \mathbf x_0 należącym do U, jeżeli

f(\mathbf x) - f(\mathbf x_0) \geqslant \mathbf v^*(\mathbf x - \mathbf x_0).

Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie \mathbf x_0 nazywa się subróżniczką w x_0 i także oznacza symbolem \part f(\mathbf x_0). Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli f jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.