Słaba pochodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Słaba pochodna - rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Ustalenia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Niech U\subseteq \mathbb{R}^N będzie obszarem oraz niech C_c^\infty(U) oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w U ze zwartym nośnikiem, zawartym w U. Ponadto, niech \phi\in C_c^\infty(U).

Jeśli u jest funkcją różniczkowalną w U, to stosując wzór na całkowanie przez części można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to że funkcją u ma zwarty nośnik tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):

\int\limits_Uu\frac{\partial \phi}{\partial x_i}dx=-\int\limits_U\frac{\partial u}{\partial x_i}\phi dx

dla 1\leqslant i \leqslant N.

Ogólniej, jeśli u jest funkcją k-krotnie różniczkowalną w U, a \alpha jest wielowskaźnikiem, to

\int\limits_UuD^\alpha \phi dx=(-1)^{|\alpha|}\int\limits_U D^\alpha u\phi dx.

W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji u, powstaje wówczas pytanie czy istnieje funkcja v, że D^\alpha u=v w powyższym wzorze.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech funkcje u,v będą lokalnie całkowalne w zbiorze U[1] oraz niech \alpha będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja v jest \alpha-tą słabą pochodną funkcji u wtedy i tylko wtedy, gdy

\int\limits_U u D^\alpha \phi dx=(-1)^{|\alpha|}\int\limits_U v\phi dx

dla każdej funkcji \phi \in C_c^\infty(U). Jeśli v jest \alpha-tą słabą pochodną funkcji u, to zapisujemy to

v=D^\alpha u.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

  • Słabe pochodne pewnej ustalonej funkcji są równe prawie wszędzie.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f\colon [-1,1]\to [0,1] dana wzorem

f(x)=|x|

nie jest różniczkowalna w punkcie x_0=0 jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.

Przypisy

  1. tzn. są elementami przestrzeni \scriptstyle{L^1_{\rm{loc}}(U)}, gdzie dla ustalonego \scriptstyle{p\in [1,\infty]} zbiór \scriptstyle{L^p_{\rm{loc}}(U)=\{f\in L^p(V)\colon\; \rm{cl} V\subseteq U,\, \rm{cl} V\rm{ - zwarty}\}}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]