Słaba pochodna

Słaba pochodna - rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Ustalenia wstępne

Niech $U\subseteq \mathbb{R}^N$ będzie obszarem oraz niech $C_c^\infty(U)$ oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w $U$ ze zwartym nośnikiem, zawartym w $U$. Ponadto, niech $\phi\in C_c^\infty(U)$.

Jeśli $u$ jest funkcją różniczkowalną w $U$, to stosując wzór na całkowanie przez części można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to że funkcją $u$ ma zwarty nośnik tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):

$\int\limits_Uu\frac{\partial \phi}{\partial x_i}dx=-\int\limits_U\frac{\partial u}{\partial x_i}\phi dx$

dla $1\leqslant i \leqslant N$.

Ogólniej, jeśli $u$ jest funkcją $k$-krotnie różniczkowalną w $U$, a $\alpha$ jest wielowskaźnikiem, to

$\int\limits_UuD^\alpha \phi dx=(-1)^{|\alpha|}\int\limits_U D^\alpha u\phi dx$.

W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji $u$, powstaje wówczas pytanie czy istnieje funkcja $v$, że $D^\alpha u=v$ w powyższym wzorze.

Definicja

Niech funkcje $u,v$ będą lokalnie całkowalne w zbiorze $U$ oraz niech $\alpha$ będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja $v$ jest $\alpha$-tą słabą pochodną funkcji $u$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\int\limits_U u D^\alpha \phi dx=(-1)^{|\alpha|}\int\limits_U v\phi dx$

dla każdej funkcji $\phi \in C_c^\infty(U)$. Jeśli $v$ jest $\alpha$-tą słabą pochodną funkcji $u$, to zapisujemy to

$v=D^\alpha u$.

Uwaga

• Słabe pochodne pewnej ustalonej funkcji są równe prawie wszędzie.

Przykład

Funkcja $f\colon [-1,1]\to [0,1]$ dana wzorem

$f(x)=|x|$

nie jest różniczkowalna w punkcie $x_0=0$ jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.

Zobacz też

• przestrzeń Sobolewa
• podróżniczka