Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym

Ilustracja twierdzenia

Twierdzenie Talesa dla okręgu – szczególny przypadek twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym mówiące, że jeśli A, B i C są punktami na okręgu, gdzie odcinek AC jest średnicą, to kąt ABC jest prosty. Twierdzenie to w tej postaci jest przypisywane Talesowi według greckiego pisarza Diogenesa Laertiosa.

Nazwa „twierdzenie Talesa” jest najczęściej używana w krajach anglosaskich, choć Tales nie był pierwszym, który dokonał tego odkrycia. Są fakty świadczące o tym, że z twierdzenia tego korzystali Egipcjanie i Babilończycy, mimo to nie ma przekazów mówiących, że potrafili je udowodnić. Twierdzenie w krajach anglosaskich nosi nazwisko Talesa, ponieważ był on pierwszym, który je udowodnił korzystając z własnych wniosków wskazujących, że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe i suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu.

Dowód

Kąt ABC oparty na średnicy AC jest prosty

Ilustracja dowodu

Korzystamy z następujących własności:

• suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu (180°),
• kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są przystające.

Niech O jest środkiem okręgu. Ponieważ OA = OB = OC, OAB i OBC są trójkątami równoramiennymi, korzystając z własności, że kąty przy podstawach trójkątów równoramiennych są przystające, OBC = OCB i BAO = ABO. Niech α = BAO i β = OBC. Trzy wewnętrzne kąty trójkąta ABC to α, α + β i β. Ponieważ suma kątów wewnętrznych w trójkącie równa się kątowi półpełnemu zachodzi

$\alpha +(\alpha +\beta )+\beta =180^{\circ }$

co daje

$2\alpha +2\beta =180^{\circ }$

lub prościej

$\alpha +\beta =90^{\circ }.$

q.e.d.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe. Mówi ono, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na nim.

Jeśli połączymy oba twierdzenia (wprost z odwrotnością), to otrzymamy że:

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny.

Zastosowanie

Konstrukcja stycznej do okręgu.

Twierdzenie może być zastosowane do konstrukcji stycznej do danego okręgu, która przechodzi przez zadany punkt (zobacz ilustrację). Mając dany okrąg k, o środku O, i punkt P na zewnątrz okręgu, chcemy wyznaczyć (czerwoną) styczną do k, która przechodzi przez P. Załóżmy, że (jeszcze nieznana) styczna t ma punkt wspólny z okręgiem w T. Z symetrii jasno wynika, że promień OT jest prostopadły do stycznej. Wyznaczając środek H odcinka pomiędzy O i P, wykreślamy okrąg o środku H zawierający punkty O i P. Na przecięciu się tego okręgu z danym okręgiem k otrzymujemy punk T. Z twierdzenia Talesa dla okręgu wynika, że punkt na k tworzy trójkąt prostokątny OTP.

Ponieważ oba okręgi mają dwa punkty wspólne, wyznaczone zostają obie styczne.

Uogólnienie

Twierdzenie Talesa dla okręgu jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia:

Dla trzech punktów A, B i C leżących na okręgu o środku O, kąt AOC jest dwa razy większy niż kąt ABC.

Zobacz kąt wpisany. Dowód jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia podanego powyżej.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Thales’ Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).