Twierdzenie Talesa (okrąg)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy twierdzenia o okręgu i trójkącie prostokątnym. Zobacz też: Twierdzenie Talesa o przecięciu ramion kąta równoległymi prostymi.
Ilustracja twierdzenia

Twierdzenie Talesa dla okręgu w geometrii – szczególny przypadek twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym mówiące, że jeśli A, B i C są punktami na okręgu gdzie odcinek AC jest średnicą, to kąt ABC jest prosty[1]. Twierdzenie to w tej postaci jest przypisywane Talesowi[2].

Nazwa „twierdzenie Talesa” jest najczęściej używana w krajach anglosaskich, choć Tales nie był pierwszym, który dokonał tego odkrycia. Są fakty świadczące o tym, że z twierdzenia tego korzystali Egipcjanie i Babilończycy, mimo to nie ma przekazów mówiących, że potrafili je udowodnić. Twierdzenie w krajach anglosaskich nosi nazwisko Talesa, ponieważ był on pierwszym, który je udowodnił korzystając z własnych wniosków wskazujących, że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe i suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Kąt ABC oparty na średnicy AC jest prosty
Ilustracja dowodu

Korzystamy z następujących własności:

Niech O jest środkiem okręgu. Ponieważ OA = OB = OC, OAB i OBC są trójkątami równoramiennymi, korzystając z własności, że kąty przy podstawach trójkątów równoramiennych są przystające, OBC = OCB i BAO = ABO. Niech α = BAO i β = OBC. Trzy wewntętrzne kąty trójkąta ABC to α, α + β i β. Ponieważ suma kątów wewnętrznych w trójkącie równa się kątowi półpełnemu zachodzi

\alpha+\left( \alpha + \beta \right) + \beta = 180^\circ

co daje

{2}\alpha + {2}\beta =180^\circ

lub prościej

\alpha + \beta =90^\circ.

Q.e.d.

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe. Mówi ono, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na nim.

Jeśli połączymy oba twierdzenia (wprost z odwrotnością), to otrzymamy że:

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja stycznej do okręgu.

Twierdzenie może być zastosowane do konstrukcji stycznej do danego okręgu, która przechodzi przez zadany punkt (zobacz ilustrację). Mając dany okrąg k, o środku O, i punkt P na zewnątrz okręgu, chcemy wyznaczyć (czerwoną) styczną do k, która przechodzi przez P. Załóżmy, że (jeszcze nie znana) styczna t ma punkt wspólny z okręgiem w T. Z symetrii jasno wynika, że promień OT jest prostopadły do stycznej. Wyznaczając środek H odcinka pomiędzy O i P, wykreślamy okrąg o środku H zawierający punkty O i P. Na przecięciu się tego okręgu z danym okręgiem k otrzymujemy punk T. Z twierdzenia Talesa dla okręgu wynika, że punkt na k tworzy trójkąt prostokątny OTP.

Ponieważ oba okręgi mają dwa punkty wspólne, wyznaczone zostają obie styczne.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Talesa dla okręgu jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia:

Dla trzech punktów A, B i C leżących na okręgu o środku O, kąt AOC jest dwa razy większy niż kąt ABC.

Zobacz kąt wpisany. Dowód jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia podanego powyżej.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. ElementyKsięga III” Twierdzenie 31.
  2. T.L. Heath: A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. T. I. Oxford, 1921, s. 131. (ang.)