Własność skończonych przekrojów

Własność skończonych przekrojów to własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

Definicja

Mówimy, że rodzina zbiorów ${\mathcal A}$ ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, ${\mathcal A}$ ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych $A_0,\ldots,A_n\in {\mathcal A}$, $n\in {\mathbb N}$, mamy że $A_0\cap\ldots\cap A_n\neq\emptyset$.

Często zamiast mówić że ${\mathcal A}$ ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że ${\mathcal A}$ ma fip, używając skrótu na angielską nazwę finite intersection property.

Przykłady, własności, zastosowanie

• Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:

(i) ${\mathcal A}=\{A_0,A_1,A_2,\dots\}$ gdzie $A_0\supseteq A_1\supseteq A_2\supseteq\ldots$ są zbiorami niepustymi,

(ii) ${\mathcal B}=\{[r,\infty):r\in {\mathbb R}\}$,

(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych które mają dopełnienie skończone,

(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka $[0,1]$ które mają miarę Lebesgue'a 1.

• Jeśli ${\mathcal A}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$ z własnością skończonych przekrojów, to zbiór

${\mathcal F}=\big\{A\subseteq X:A_0\cap\ldots \cap A_n\subseteq A$ dla pewnych $A_0,\ldots, A_n\in {\mathcal A}$, $n\in {\mathbb N}\ \}$

jest filtrem podzbiorów $X$. Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów $X$ zawierający ${\mathcal A}$. (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC.)

• Przypuśćmy, że $(X,\tau)$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas

(a) $X$ jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów $X$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,

(b) $X$ jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów $X$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

Zobacz też

• filtr
• przestrzeń zwarta
• przestrzeń przeliczalnie zwarta