Własność skończonych przekrojów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Własność skończonych przekrojów to własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że rodzina zbiorów {\mathcal A} ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, {\mathcal A} ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych A_0,\ldots,A_n\in  {\mathcal A}, n\in {\mathbb N}, mamy że  A_0\cap\ldots\cap A_n\neq\emptyset.

Często zamiast mówić że {\mathcal A} ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że {\mathcal A} ma fip, używając skrótu na angielską nazwę finite intersection property.

Przykłady, własności, zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

  • Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:
(i) {\mathcal A}=\{A_0,A_1,A_2,\dots\} gdzie A_0\supseteq A_1\supseteq A_2\supseteq\ldots są zbiorami niepustymi,
(ii) {\mathcal B}=\{[r,\infty):r\in {\mathbb R}\},
(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych które mają dopełnienie skończone,
(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka [0,1] które mają miarę Lebesgue'a 1.
  • Jeśli {\mathcal A} jest rodziną podzbiorów zbioru X z własnością skończonych przekrojów, to zbiór
{\mathcal F}=\big\{A\subseteq X:A_0\cap\ldots \cap A_n\subseteq A dla pewnych A_0,\ldots, A_n\in {\mathcal A}, n\in {\mathbb N}\ \}
jest filtrem podzbiorów X. Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów X zawierający {\mathcal A}. (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC.)
(a) X jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów X która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,
(b) X jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów X która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]