Dopełnienie zbioru

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram Venna: Ac jest dopełnieniem A względem U.

Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru[1][2][3][4].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie zbiór U, zwany dalej przestrzenią[1][2][4][5], zbiorem uniwersalnym[4] lub uniwersum[4], oraz jego podzbiór A \subseteq U. Dopełnieniem zbioru A nazywa się różnicę

U \setminus A = \{x \in U\colon x \notin A\},

oznaczaną zwykle symbolem A^\prime [1][2][3][5] lub A^{\operatorname c} [2][4], a w starszych pozycjach także \complement_U A lub, jeśli U jest znane, krótko \complement A (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie -A [5], jednak jeżeli A jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to -A może oznaczać wtedy \{-a\colon a \in A\}.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
  • Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów  A, B \subseteq U można zapisać w postaci:
 A \setminus B = A \cap B^\prime

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego uniwersum U prawdziwe są równości

\varnothing^\prime = U, \quad U^\prime = \varnothing.

Dla ustalonego U i dowolnego A \subseteq U zachodzi

(A^\prime)^\prime = A,

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

A \cap A^\prime = \varnothing,

a ich suma daje całe uniwersum,

A \cup A^\prime = U,

co oznacza, że \{A, A^\prime \} jest rozbiciem zbioru U.

Dla danych A, B \subseteq U zachodzą prawa

(A \cup B)^\prime = A^\prime \cap B^\prime ,
(A \cap B)^\prime = A^\prime \cup B^\prime,

znane jako prawa de Morgana[6]. Dodatkowo

B = A^\prime pociąga B^\prime = A.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 30.12.2008 r.].
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Kazimierz Kuratowski, Ryszard Engelking: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 16,17. ISBN 83-01-14215-4.
  3. 3,0 3,1 Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 15. ISBN 83-01-14415-7.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996, s. 27-31. ISBN 83-01-12129-7.
  5. 5,0 5,1 5,2 Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe, 1975, s. 19.
  6. Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana. Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, s. 100. [dostęp 30.12.2008 r.].