Alternatywa

Alternatywa, suma logiczna, alternatywa zwykła, alternatywa nierozłączna, alternatywa łączna – zdanie logiczne o postaci p lub q, gdzie p, q są zdaniami. W logice matematycznej alternatywę zapisuje się $p\,\lor \,q.$ Alternatywa p lub q jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno z jej zdań składowych p, q jest prawdziwe.

W logice matematycznej

Alternatywa (suma logiczna):

1. Działanie dwuargumentowe określone w dowolnym zbiorze zdań bądź w zbiorze funkcji zdaniowych, które zdaniom (funkcjom zdaniowym) $p$ i $q$ przypisuje zdanie (funkcję zdaniową) prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno ze zdań (funkcji) $p$ i $q.$
2. Dwuargumentowy spójnik zdaniowy, oznaczany $p\,\lor \,q$ (łac. $p{\mbox{ vel }}q$) o znaczeniu odpowiadającemu wyżej zdefiniowanemu działaniu określonemu w zbiorze $A\ni p,q.$ Od poprzedniej definicji różni się tym, że jest definiowany na poziomie syntaktycznym, dzięki czemu unika się określania jego dziedziny.
3. Zdanie logiczne postaci $p\,\lor \,q,$ gdzie $p$ i $q$ są zdaniami.

Dwa symbole bramki logicznej OR (sumy logicznej)

Alternatywa pozostaje w ścisłym związku z dodawaniem zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań przy użyciu alternatywy jest też nazywane sumą logiczną. Zdania składowe $p,$ $q$ nazywane są składnikami alternatywy.

Alternatywa jest prawdziwa, jeżeli co najmniej jeden z jej składników jest prawdziwy. W przeciwnym razie alternatywa zdań jest fałszywa.

Tablica prawdy dla alternatywy

$p$	$q$	$p\vee q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – zdanie fałszywe

Notacja

Zestawienie symboli alternatywy, stosowanych przez różnych autorów:

	Schröder Peirce	Peano, Russell Hilbert	Łukasiewicz
Alternatywa	$p+q$	$p\lor q$	$Apq$

W językach programowania dla oznaczenia alternatywy używany jest często angielski spójnik OR. W języku C/C++ i pochodnych oznacza się ją przez „||”.

Przykłady

• Alternatywa zdań: 12 dzieli się przez 3 lub Madryt jest stolicą Hiszpanii jest prawdziwa, bo oba jej zdania składowe są prawdziwe.
• Alternatywa zdań: $10>12{\mbox{ lub }}10<11$ jest prawdziwa, bo jeden z jej składników jest prawdziwy (prawdą jest, że 10 jest liczbą mniejszą niż 11).
• Alternatywa zdań: Kraków leży nad Odrą lub Wisła nie płynie w Polsce jest fałszywa, bo oba jej zdania składowe są fałszywe.

Własności

Alternatywa charakteryzuje się następującymi cechami:

• przemienność

$p\,\lor \,q=q\,\lor \,p$

• łączność

$p\,\lor \,(q\,\lor \,r)=(p\,\lor \,q)\,\lor \,r$

• idempotentność

$p\,\lor \,p\,\Leftrightarrow \,p$

• rozdzielność względem koniunkcji (i odwrotnie)

$p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)$

$p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)$

• prawa De Morgana

$\neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)$

$\neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)$

Negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji, natomiast negacja koniunkcji – alternatywie negacji.

W języku naturalnym

Bardziej znane jest potoczne znaczenie słowa „alternatywa”: wybór z dwóch wykluczających się możliwości. Pokrywa się ono z matematycznym pojęciem alternatywy rozłącznej, a nie klasycznej alternatywy przedstawianej w logice matematycznej.

Zobacz też

• decyzja
• koniunkcja

Linki zewnętrzne

• MariaM. Aloni MariaM., Disjunction, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 26 marca 2016, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-01-23]  (ang.).