Koniunkcja (logika)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Koniunkcjazdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: . Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p1 i ... i pn. Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zadniowych, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q[1][2]. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2].

Definicja[edytuj]

Niech będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: . Koniunkcja jest funkcją dwuargumentową ze zbioru w zbiór [a], określoną następująco:

[3]

lub równoważnie

[1][3].

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2].

Tablica prawdy dla koniunkcji[2]:
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

gdzie:

1 – zdanie prawdziwe
0 – fałszywe

Oznaczenia[edytuj]

Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów[4][5]:

Schröder
Peirce
Peano
Russell
Hilbert Łukasiewicz
Koniunkcja

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

Własności[edytuj]

 Osobny artykuł: Prawa rachunku zdań.

Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:

[6][7]
[6][7]
[8]
[6][7]
[9]
Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji[10].

Przykłady[edytuj]

  • Koniunkcja jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (tj. oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli "prawda").
  • Koniunkcja jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
  • "Krzyś lubi pomarańcze"; "Krzyś lubi jabłka" - Koniunkcja "Krzyś lubi pomarańcze i jabłka" (prawda)
  • "Krzyś NIE lubi pomarańczy"; "Krzyś lubi jabłka" - Koniunkcja "Krzyś lubi pomarańcze i jabłka" (fałsz)

Koniunkcja binarna[edytuj]

Uproszczony schemat bramki logicznej AND.

W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka. Np.:

14 & 4 =      
= 0001110 & 0000100 =   (liczby w systemie binarnym)
= 0000100 =    (efekt operacji na kolejnych cyfrach)
= 4     (wynik w postaci dziesiętnej)

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).

Koniunkcja a język naturalny[edytuj]

Symbol odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefon[11].

Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż[12]. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty[11].

Zobacz też[edytuj]

Uwagi[edytuj]

  1. Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że koniunkcja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).

Przypisy

  1. a b c d Mostowski 1948 ↓, s. 8.
  2. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 163.
  3. a b Ross i Wright 1996 ↓, s. 588.
  4. Mostowski 1948 ↓, s. 13.
  5. Rasiowa 1975 ↓, s. 170.
  6. a b c Mostowski 1948 ↓, s. 28.
  7. a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 196.
  8. Mostowski 1948 ↓, s. 29.
  9. Rasiowa 1975 ↓, s. 195.
  10. Mostowski 1948 ↓, s. 27.
  11. a b Strawson 1952 ↓, s. 80.
  12. Kleene 1967 ↓, s. 64.

Bibliografia[edytuj]

  1. Stephen C. Kleene: Mathematical logic. New York: Wiley, 1967. OCLC 523472.
  2. Andrzej Mostowski: Logika matematyczna : kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
  3. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  4. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
  5. Peter F. Strawson: Introduction to logical theory. London: Methuen, 1952. OCLC 373139.