Rozkład Maxwella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład Maxwella dla tlenu dla trzech temperatur (–100 °C, temperatura pokojowa i 600 °C). Wartość funkcji odpowiada liczbie cząsteczek spośród 1 miliona cząsteczek, jaka będzie poruszać się z prędkością v±0,5 m/s.
Rozkład Maxwella dla tlenu, butanu, amoniaku i dwutlenku węgla w temperaturze pokojowej (20 °C). Wartość funkcji odpowiada liczbie cząsteczek spośród 1 miliona cząsteczek, jaka będzie poruszać się z prędkością v±0,5 m/s.

Rozkład Maxwella – wzór określający rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego, w którym poruszają się one swobodnie i nie oddziałują ze sobą, z wyjątkiem bardzo krótkich zderzeń sprężystych, w których mogą wymieniać pęd i energię kinetyczną, ale nie zmieniają swoich stanów wewnątrzcząsteczkowych. Cząstka w tym kontekście oznacza zarówno atomy jak i cząsteczki.

Rozkład ten ma postać

gdzie:

Z funkcji podanej przez Jamesa Clerka Maxwella wynika, że większość cząsteczek będzie poruszać się z prędkością zbliżoną do pewnej wartości średniej. Ze względu na występujące we wzorze wyrażenie wykładnicze z proporcjonalnym do , udział cząsteczek o bardzo dużych prędkościach jest bardzo mały, gdyż jest bardzo małe, gdy jest duże. Z drugiej strony, ze względu na to, że czynnik dąży do zera, gdy maleje, udział cząsteczek o bardzo małych prędkościach jest także znikomy[1].

Parametry rozkładu prędkości[edytuj]

Rozkład prędkości cząsteczek gazu można scharakteryzować trzema parametrami: prędkość najbardziej prawdopodobna, prędkość średnia i prędkość średnia kwadratowa[2][3].

Prędkość najbardziej prawdopodobna to taka prędkość , dla której wartość jest największa.

Prędkość średnia określa przeciętną prędkość z jaką poruszają się cząsteczki w układzie. Ze względu na to, że rozkład Maxwella jest asymetryczny (prawostronnie skośny) prędkość średnia jest większa niż prędkość najbardziej prawdopodobna. Krzywa maxwellowska ma "ogon", który rozciąga się w stronę wysokich temperatur.

Prędkość średnia jest średnią arytmetyczną z prędkości wszystkich cząsteczek:

Prędkość średnia kwadratowa jest pierwiastkiem kwadratowym ze średniej arytmetycznej kwadratów prędkości:

Średnia prędkość kwadratowa jest miarą energii kinetycznej cząsteczek.

Z kinetycznej teorii gazów wynika, że

a więc energia kinetyczna cząsteczki zależy wyłącznie od temperatury, oraz ze względu na to, że zgodnie z Drugą zasadą dynamiki Newtona

otrzymujemy

Jest to fundamentalny wniosek teorii kinetycznej, który łączy wprost prędkość cząsteczek z temperaturą i masą. Wynika z niego, że

średnia prędkość kwadratowa cząsteczek jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z temperatury[1].

Jeśli temperatura wzrośnie dwa razy (w skali Kelvina), to średnia prędkość kwadratowa cząsteczki wzrośnie razy.

Poza tym zachodzi:

Konsekwencje rozkładu prędkości[edytuj]

Rozkład Maxwella pokazuje, że prędkości cząsteczek zależą od temperatury oraz masy molowej. Wraz ze wzrostem temperatury, rozkład się poszerza ("spłaszcza"), a jego prędkość najbardziej prawdopodobna, jak i średnia prędkość, i średnia prędkość kwadratowa zwiększają się.

Zależność od masy cząsteczek powoduje z kolei, że w tej samej temperaturze, cząsteczki gazów o mniejszej masie molowej będą poruszały się średnio szybciej niż cząsteczki gazów o większej masie molowej.

Takie zachowanie się gazów – dobrze opisywane przez rozkład Maxwella – ma duże znaczenie dla składu atmosferycznego planet. Spora część cząsteczek gazów lekkich będzie się poruszała z prędkościami przewyższającymi drugą prędkość kosmiczną. Oznacza to, że cząsteczka wydostanie się z pola grawitacyjnego planety. Dlatego wodór H2, którego masa molowa wynosi M = 2,02 g/mol i hel He, o masie M = 4,00 g/mol, praktycznie nie występują w atmosferze Ziemi[1].

Statystyka Maxwella-Boltzmanna[edytuj]

Rozkład Maxwella-Boltzmanna
Parametr
Dziedzina
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana
Dominanta
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza

Statystyka Maxwella-Boltzmanna może być przedstawiona w postaci znormalizowanej. Parametry rozkładu odnoszą się do parametrów cząsteczkowych gazu:

lub do parametrów makroskopowych gazu:

gdzie:

Statystyka Maxwella odnosi się do cząsteczek "ciężkich" (pierwiastków i związków chemicznych). W temperaturze wysokiej lub normalnej wszystkie cząsteczki znajdują się w innym stanie energetycznym, ponieważ w takich warunkach stanów jest o wiele więcej niż cząsteczek. To przybliżenie dotyczy wszystkich związków chemicznych i prawie wszystkich pierwiastków (poza helem i wodorem o temperaturze mniejszej od około 0,5 K).


Liczba cząsteczek w danym zakresie prędkości[edytuj]

Prawdopodobieństwo, że cząsteczka będzie miała prędkość mieszczącą się w pewnym zakresie, określa całka w zadanej granicami całkowania funkcji rozkładu Maxwella po prędkości. Z definicji prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi cząsteczek spełniających warunek do całkowitej liczby cząsteczek

  • – liczba cząsteczek gazu doskonałego poruszających się z prędkością mieszczącą się między prędkościami a ,
  • – liczba cząsteczek gazu doskonałego.

Ponieważ

więc

zatem

Całką w granicach prędkości od do jest funkcja

gdzie to funkcja błędu.

Gdy granicami całkowania jest prędkość równa zeru i równa nieskończoności, prawdopodobieństwo wynosi jeden:

co pokrywa się z warunkiem normalizacji funkcji rozkładu. Prawdopodobieństwo :

Liczba molekuł poruszających się z prędkością z zakresu wskazuje zależność , a stąd

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b c "Podstawy chemii fizycznej" Peter William Atkins. Wydawnictwo PWN Warszawa 1999, str. 35-37
  2. "Fizyka. Moduł V. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika, I-II", Zbigniew Kąkol. Otwarte zasoby edukacyjne. Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. 2006. Pobrane z serwisu Open AGH http://www.open.agh.edu.pl
  3. "Equilibrium and non-equilibrium statistical thermodynamics", Michel Le Bellac, Fabrice Mortessagne, Ghassan George Batrouni. 2004. Cambridge University Press. str. 116-119.