Macierz antysymetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna) – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

to znaczy

Z definicji wynika, że dla dowolnego zachodzi: o ile charakterystyka ciała elementów macierzy jest różna od 2.

Dla ciał charakterystyki 2 elementy głównej przekątnej mogą być niezerowe, te z zerowymi przekątnymi nazywane są wówczas macierzami alternującymi.

Uogólnieniem macierzy antysymetrycznej jest macierz antyhermitowska.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny.
  • Dla macierzy kwadratowej macierz jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli jest dowolną macierzą kwadratową stopnia to
przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.
  • Wszystkie wartości własne antysymetrycznej macierzy rzeczywistej są urojone.
  • Jeśli jest macierzą antysymetryczną stopnia to jej wyznacznik jest równy
W szczególności, jeżeli jest nieparzyste, to (dla macierzy o wyrazach z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli jest parzyste, to det można zapisać w postaci gdzie oznacza pfaffian macierzy – wynik znany jako twierdzenie Cayleya (o pfaffianie; udowodniony przez Arthura Cayleya i odkryty na nowo przez Thomasa Muira).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Macierzami antysymetrycznymi są:

Pierwsza z tych macierzy jest jednocześnie antysymetryczna i symetryczna.

W ciele macierz

jest macierzą antysymetryczną, ale nie jest macierzą alternującą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]