Macierz antysymetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna) – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa A = [aij] jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

to znaczy

Z definicji wynika, że dla dowolnego i zachodzi: , o ile charakterystyka ciała elementów macierzy jest różna od 2. Dla ciał charakterystyki 2 elementy głównej przekątnej mogą być niezerowe, te z zerowymi przekątnymi nazywane są wówczas macierzami alternującymi

Własności[edytuj]

  • Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny.
  • Dla macierzy kwadratowej A macierz A - AT jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia n rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli A jest dowolną macierzą kwadratową stopnia n, to
przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.
  • Wszystkie wartości własne antysymetrycznej macierzy rzeczywistej są urojone.
  • Jeśli A jest macierzą antysymetryczną stopnia n, to jej wyznacznik jest równy
W szczególności, jeżeli n jest nieparzyste, to det A = 0 (dla macierzy o wyrazach z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli n jest parzyste, to det A można zapisać w postaci (Pf A)2, gdzie Pf A oznacza pfaffian macierzy A.

Przykłady[edytuj]

Macierzami antysymetrycznymi są:

Pierwsza z tych macierzy jest jednocześnie antysymetryczna i symetryczna.
W ciele F2 macierz

jest macierzą antysymetryczną, ale nie jest macierzą alternującą.

Zobacz też[edytuj]