Granica i kogranica

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica i kogranica – w teorii kategorii dwie dualne względem siebie konstrukcje będące pewnego rodzaju uogólnieniem pojęć produktu, produktu włóknistego (pull-backu) i ekwalizatora w przypadku granicy oraz pojęć dualnych do wymienionych: koproduktu, koproduktu włóknistego (push-outu), czy koekwalizatora w przypadku kogranicy.

Definicje[edytuj]

Diagram prezentujący warunki zgodności i uniwersalności.

Granice w kategorii definiuje się za pomocą pojęcia diagramu w Granicą diagramu nazywa się dowolny obiekt kategorii wraz z morfizmami dla każdego obiektu kategorii spełniający następujące warunki:

  • zgodność,
    dla każdego morfizmu w zachodzi równość
  • uniwersalność,
    dla dowolnego innego obiektu wraz z rodziną morfizmów spełniającego powyższy warunek zgodności istnieje jeden i tylko jeden taki morfizm że dla każdego zachodzi

Obiekty wraz z rodziną morfizmów spełniające warunek zgodności nazywa się stożkami nad diagramem Stożki nad ustalonym diagramem w tworzą kategorię, w której morfizmy tej kategorii między pewnymi stożkami spełniają Wynika stąd, że granice diagramów to obiekty końcowe w kategorii stożków, zatem są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Kogranicę w kategorii można zdefiniować jako granicę w kategorii przeciwnej bądź wprost: wprowadzając analogicznie pojęcie kostożka diagramu i definiując kogranicę jako obiekt początkowy w kategorii kostożków.

Bibliografia[edytuj]