Funktory sprzężone

Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe.

Definicja funktorów sprzężonych kowariantnych

Załóżmy, że ${\mathfrak {A}}$ i ${\mathfrak {B}}$ są kategoriami, a $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ i $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ są funktorami kowariantnymi. Zbiór morfizmów $A_{1}\to A_{2}$ kategorii ${\mathfrak {A}}$ będziemy oznaczać symbolem $\langle A_{1},A_{2}\rangle _{\mathfrak {A}}.$ Funktor $\Phi$ nazywa się lewym sprzężonym do funktora $\Psi$ i zarazem $\Psi$ nazywa się prawym sprzężonym do $\Phi ,$ gdy istnieje naturalna równoważność bifunktorów:

$\omega _{A,B}\colon \langle \Phi (A),B\rangle _{\mathfrak {B}}\to \langle A,\Psi (B)\rangle _{\mathfrak {A}}$

(naturalna w obu zmiennych $A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}$). Będziemy używać zapisu typu $\Gamma _{1}\rightleftharpoons \Gamma _{2}$ na oznaczenie naturalnej równoważności funktorów $\Gamma _{1},\Gamma _{2}.$ Warunek sprzężoności zapisany w postaci $\langle \Phi (A),B\rangle \rightleftharpoons \langle A,\Psi (B)\rangle$ ułatwia zapamiętanie, który z funktorów jest lewym sprzężonym, a który prawym. Ponadto optycznie przypomina to definicję $\langle \Phi x,y\rangle =\langle x,\Psi y\rangle$ operatora sprzężonego w przestrzeni Hilberta.

Produkt i hom jako funktory sprzężone

Będziemy korzystać z tego, że dowolną funkcję dwóch zmiennych $f\colon A\times B\to C,$ tradycyjnie oznaczaną symbolem $f(x,y),\;x\in A,\;y\in B,$ można utożsamić z rodziną $\{g_{x}\}_{x\in A}$ funkcji jednej zmiennej $g_{x}\colon B\to C$ określonych jako $g_{x}(y)=f(x,y).$ Ponieważ $g_{x}\in C^{B},$ gdzie $C^{B}$ oznacza zbiór wszystkich funkcji $B\to C,$ przyporządkowanie to prowadzi, przy ustalonym zbiorze $B,$ do naturalnej równoważności bifunktorów:

$\omega _{A,C}\colon \langle A\times B,\;C\rangle \to \langle A,\;C^{B}\rangle .$

Znaczy to, że funktor $-\!\times B{:}\ \mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór $B$ jest lewym sprzężonym do funktora głównego $\langle B,-\rangle _{\mathbf {Set} },$ wyznaczonego przez $B.$ Kreska $-$ jest tu symbolem zmiennej (za którą podstawić można symbole obiektów i morfizmów).

Rozpatrzmy przypadek, gdy ${\mathfrak {A}}$ jest kategorią $\mathbf {Ab}$ grup abelowych, kategorią $\mathbf {Vect_{K}}$ przestrzeni liniowych nad ciałem $K$ lub ogólniej kategorią $\mathbf {Mod_{R}}$ modułów nad pierścieniem przemiennym $R$ z jednością i oznaczmy przez $\mathrm {Hom} (A,B)$ zbiór $\langle A,B\rangle _{\mathfrak {A}}$ zaopatrzony w strukturę obiektów danej kategorii. W ten sposób Hom staje się bifunktorem ${\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }\times {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}.$ Wiążąc to ze znanymi związkami bimorfizmów na produktach $A\times B$ (tzn. homomorfizmów względem każdej zmiennej osobno) z homomorfizmami na produktach tensorowych $A\otimes B,$ stwierdzamy naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych

$\mathrm {Hom} (?_{1}\otimes ?_{2},?_{3})$ i $\mathrm {Hom} {\big (}?_{1},\mathrm {Hom} (?_{2},?_{3}){\big )},$

gdzie $?_{1},?_{2},?_{3}$ są symbolami tych zmiennych.

Zastosowania w teorii homotopii

Ze sprzężenia funktorów $-\!\times \!A$ i $\langle A,-\rangle$ wynikają dalsze związki, kluczowe dla teorii homotopii. Rozważmy kategorię $\mathbf {Top} _{\diamond }$ przestrzeni topologicznych $X$ z wyróżnionymi punktami bazowymi $x^{\diamond }\!\in \!X$ i przekształceń ciągłych zachowujących punkty bazowe. Jeśli $(A,a^{\diamond })$ i $(B,b^{\diamond })$ są obiektami, to przestrzeń $A\vee B$ złożona z wszystkich par $(a,b)$ takich, że $a=a^{\diamond }$ lub $b=b^{\diamond },$ jest ich koproduktem. Przestrzeń ilorazowa $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ zwana jest produktem ściągniętym (ang. smash product). Przez $\mathrm {Map} _{*}(X,Y)$ oznaczymy zbiór morfizmów $\langle X,Y\rangle _{\mathbf {Top} _{\diamond }}$ z topologią zwarto-otwartą. Jeżeli $A,X,Y$ są przestrzeniami Hausdorffa i $A$ jest ustaloną przestrzenią lokalnie zwartą, to otrzymujemy równoważność naturalną:

$\langle X\wedge A,\;Y\rangle _{\mathbf {Top} _{\diamond }}\rightleftharpoons \langle X,\;\mathrm {Map} _{*}(A,Y)\rangle _{\mathbf {Top} _{\diamond }}.$

Oznaczmy przez $\mathbf {S} ^{n}$ sferę $n$-wymiarową $(n\geqslant 0).$ Przestrzeń $\Sigma (X)=X\wedge \mathbf {S} ^{1}$ może być utożsamiona ze zredukowanym zawieszeniem przestrzeni $X$ (ang. reduced suspension lub based suspension). W teorii homotopii odwzorowania ciągłe $\mathbf {S} ^{1}\to X$ zwane są pętlami (ang. loop) w przestrzeni $(X,a^{\diamond }).$ Funktor pętli $\Omega$ obiektowi $(X,a^{\diamond })$ przyporządkowuje przestrzeń pętli w $X,$ tzn. zbiór $\Omega (X)=\mathrm {Map} _{*}(\mathbf {S} ^{1},X).$ Wstawiając $A=\mathbf {S} ^{1}$ do powyższej równoważności naturalnej funktorów $-\!\times \!A$ i $\langle A,-\rangle$ stwierdzamy, że funktor zawieszenia $\Sigma$ z kategorii $\mathbf {Top} _{\diamond }$ do $\mathbf {Top} _{\diamond }$ jest lewym sprzężonym do funktora $\Omega .$ Po przejściu do klas homotopii otrzymuje się równoważność naturalną

$[\Sigma X,Y]_{\mathrm {Htp} }\rightleftharpoons [X,\Omega Y]_{\mathrm {Htp} },$

gdzie $[X,Y]_{\mathrm {Htp} }$ oznacza zbiór klas homotopii przestrzeni $\mathrm {Map} _{*}(X,Y).$ Wykorzystując $n$-krotnie te sprzężenia i to, że $\Sigma (\mathbf {S} ^{n})$ jest homeomorficzne z $\mathbf {S} ^{n+1},$ otrzymuje się ciąg równoważności naturalnych:

$\pi _{n}(X)\rightleftharpoons [\Sigma ^{n}\mathbf {S} ^{0},X]_{\mathrm {Htp} }\rightleftharpoons [\Sigma ^{n-1}\mathbf {S} ^{0},\Omega X]_{\mathrm {Htp} }\rightleftharpoons \dots \rightleftharpoons [\mathbf {S} ^{0},\Omega ^{n}X]_{\mathrm {Htp} }$

w których $\pi _{n}(X)=[\mathbf {S} ^{n},X]_{\mathrm {Htp} }$ oznacza $n$-tą grupę homotopii przestrzeni $(X,x^{\diamond }).$

Funktory sprzężone kontrawariantne

W przypadku funktorów kontrawariantnych mamy dwa rodzaje sprzężenia. Mianowicie jeśli $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ i $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ są funktorami kontrawariantnymi, to wyznaczają one cztery funktory kowariantne.

$^{*}\Phi \colon {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {B}},\quad \Phi ^{*}\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} },\quad ^{*}\Psi \colon {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {A}},\quad \Psi ^{*}\colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }.$

Dokonuje się tego poprzez złożenia funktorów $\Phi ,\Psi$ z funktorami dualizacji.

${\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},\quad {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} },\quad {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}},\quad {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }$

Funktory kontrawariantne $\Phi ,\Psi$ nazywają się prawostronnie sprzężone, gdy $\Phi ^{*}$ jest lewym sprzężonym do $^{*}\Psi .$ Jest to równoważne temu, że $^{*}\Phi$ jest prawym sprzężonym do $\Psi ^{*}.$ Funktory $\Phi ,\Psi$ nazywają się lewostronnie sprzężone, gdy $\Phi ^{*}$ jest prawym sprzężonym do $^{*}\Psi .$ Jest to równoważne temu, że $^{*}\Phi$ jest lewym sprzężonym do $\Psi ^{*}.$

Na przykład jeśli $B$ jest ustaloną przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ to kontrawariantny funktor $\mathrm {Hom} ({-},B){:}\ \mathbf {Vect_{K}} \to \mathbf {Vect_{K}}$ jest prawostronnie sprzężony sam do siebie.

Związek z pojęciem jednoznacznej faktoryzacji

Funktory sprzężone mogą być zdefiniowane w języku zagadnień jednoznacznej faktoryzacji. Mianowicie dowodzi się, że funktor kowariantny $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ jest lewym sprzężonym do funktora $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje transformacja naturalna $\{\eta _{A}\}_{A\in {\mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}}}$ z funktora tożsamościowego $i\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$ do złożenia $\Psi \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$ taka, że dla dowolnych obiektów $A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},\;B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}$ i dowolnego morfizmu $\xi \colon A\to \Psi (B)$ kategorii ${\mathfrak {A}}$ istnieje jeden i tylko jeden morfizm $\theta \colon \Phi (A)\to B$ kategorii ${\mathfrak {B}}$ taki, że odpowiedni diagram komutuje, tzn. $\Psi (\theta )\eta _{A}=\xi$.

Kluczowym narzędziem dowodowym w omawianym tu kręgu zagadnień jest lemat Yonedy.

Reflektory i quasi-reflektory

Załóżmy, że ${\mathfrak {B}}$ jest podkategorią kategorii ${\mathfrak {A}}.$ Funktor $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ jest lewym sprzężonym do funktora inkluzji $i\colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest reflektorem, tzn. ma następującą własność: Każdemu $A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}$ przyporządkowany jest morfizm $\tau _{A}\colon A\to \Phi (A)$ w kategorii ${\mathfrak {A}}$ (tu $\Phi (A)\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}\subset \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}$) mający własność jednoznacznej faktoryzacji: dla każdego $B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}$ i każdego morfizmu $\xi \colon A\to B$ w podkategorii ${\mathfrak {B}}$ istnieje jeden i tylko jeden morfizm $\theta \colon \Phi (A)\to B$ w ${\mathfrak {B}}$ taki, że diagram komutuje, tj. $\theta \tau =\xi .$ Podobnie definiuje się pojęcie quasi-reflektora jako lewego sprzężonego do funktora zapominania $\Box \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}.$

Liczne przykłady reflektorów i quasi-reflektorów można znaleźć w rozmaitych dziedzinach matematyki. Oto niektóre z nich.

• Uzupełnienie przestrzeni metrycznej (metodą Cantora) wraz z przedłużeniem przekształceń spełniających warunek Lipschitza z przestrzeni do ich uzupełnień wyznacza reflektor z kategorii $\mathbf {Metr}$ do podkategorii pełnej przestrzeni zupełnych.
• Abelianizacja grupy. Jeżeli $N=[G,G]$ oznacza komutant grupy $G,$ to epimorfizmy kanoniczne $G\to G/N$ wyznaczają reflektor z $\mathbf {Grp}$ do $\mathbf {Ab} .$
• Uprzemiennianie pierścienia $R$ przez epimorfizm kanoniczny $R\to R/I,$ gdzie $I$ jest ideałem dwustronnym generowanym przez komutatory $ab{-}ba$ wyznacza reflektor z kategorii pierścieni do podkategorii pełnej pierścieni przemiennych.
• Grupa abelowa $A$ nazywa się beztorsyjna, gdy każdy jej niezerowy element $u$ ma rząd nieskończony, tzn. $nu\neq 0$ dla $n\neq 0$ ($n$ naturalne). Dla dowolnego obiektu $A$ kategorii $\mathbf {Ab}$ kanoniczny epimorfizm z $A$ na grupę ilorazową $A/N$ (gdzie $N$ jest podgrupą wszystkich elementów rzędu skończonego) ma powyższą własność jednoznacznej faktoryzacji i wyznacza reflektor z $\mathbf {Ab}$ do jej podkategorii pełnej grup beztorsyjnych.
• Kategoria $\mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }$ przestrzeni wektorowych nad ciałem $\mathbb {C}$ liczb zespolonych nie jest podkategorią kategorii $\mathbf {Vect} _{\mathbb {R} },$ ale można rozważać funktor zapominania $\Box {:}\ \mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }\to \mathbf {Vect} _{\mathbb {R} }$ („zapomina się” o mnożeniu przez skalary urojone). Dla dowolnej przestrzeni wektorowej A nad ciałem $\mathbb {R}$ rozpatrujemy przyporządkowanie obiektowe funktora Φ jako Φ(A) = A×A z działaniem dodawania określonym jak w sumie prostej i mnożeniem wektora $(a,b)$ przez skalar $s+it$ określonym wzorem $(s+it)(a,b)=(sa-tb,sb+ta)$.

Funktory reprezentowalne

Funktor kowariantny $\Gamma \colon {\mathfrak {A}}\to \mathbf {Set}$ nazywa się reprezentowalny przez obiekt $A_{0},$ gdy jest naturalnie równoważny funktorowi głównemu $\langle A_{0},-\rangle _{\mathfrak {A}}.$

W analogiczny sposób definiuje się reprezentowalność funktora kontrawariantnego jako naturalną równoważność funktorowi $\langle -,A_{0}\rangle _{\mathfrak {A}}$.

Na przykład funktor zapominania $\Box {:}\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} ,$ który każdej przestrzeni topologicznej przyporządkowuje jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnej topologii), jest reprezentowalny przez przestrzeń jednopunktową. Podobnie funktor zapominania $\Box {:}\mathbf {Grp} \to \mathbf {Set}$ z kategorii grup jest reprezentowalny przez grupę $\mathbf {Z}$ (wolną o jednym generatorze).

Funktor kowariantny z \mathbf{Set} do \mathbf{Set}, którego przyporządkowaniem obiektowym jest $A\to A\times A,$ jest reprezentowalny przez zbiór $\mathbf {2} =\{0,1\};$ opiera się to na tym, że każdy element $\varphi$ zbioru $\langle \mathbf {2} ,A\rangle _{\mathbf {Set} }$ jest funkcją $\varphi \colon \{0,1\}\to A,$ odpowiadającą parze $(a_{0},a_{1})$ w $A\times A.$

Kontrawariantny funktor potęgowy ${\mathcal {P}}_{-}{:}\ \mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ jest też reprezentowalny przez zbiór $\mathbf {2} =\{0,1\},$ bowiem każdy element zbioru $\langle A,\mathbf {2} \rangle$ (czyli funkcja z $A$ do $\mathbf {2}$) jest funkcją charakterystyczną jakiegoś podzbioru zbioru $A.$

Podstawowy związek między omawianymi tu pojęciami wyraża następujące twierdzenie. Na to, aby funktor kowariantny $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego obiektu $A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}$ istniał obiekt $B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}$ taki, że funktor $\langle A,\Psi (-)\rangle _{\mathfrak {A}}$ z ${\mathfrak {B}}$ do $\mathbf {Set}$ jest reprezentowalny przez $B.$ Okazuje się, że wówczas $\Phi (A)=B.$

Własności funktorów sprzężonych

Załóżmy, że funktor $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ jest lewym sprzężonym do funktora $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}.$ Wówczas funktory te mają następujące własności.

• $\Phi$ zachowuje epimorfizmy, tzn. dla każdego epimorfizmu $\lambda \colon A_{1}\to A_{2}$ kategorii ${\mathfrak {A}}$ morfizm $\Phi \lambda \colon \Phi (A_{1})\to \Phi (A_{2})$ kategorii ${\mathfrak {B}}$ jest też epimorfizmem. Dualnie, funktor $\Psi$ zachowuje monomorfizmy.
• $\Phi$ zachowuje koprodukty, tzn. jeżeli $A_{1}\!\sqcup \!A_{2}$ jest koproduktem obiektów $A_{1},A_{2}$ w kategorii ${\mathfrak {A}},$ to $\Phi (A_{1}\!\sqcup \!A_{2})$ jest koproduktem obiektów $\Phi (A_{1}),\Phi (A_{2})$ w kategorii ${\mathfrak {B}}.$ Dotyczy to również koproduktów nieskończonych rodzin obiektów. Dualnie, funktor $\Psi$ zachowuje produkty.
• $\Phi$ zachowuje obiekty początkowe, a $\Psi$ zachowuje obiekty końcowe.
• $\Phi$ zachowuje koekwalizatory, a $\Psi$ zachowuje ekwalizatory.
• Ogólniej, $\Phi$ zachowuje kogranice (końce) diagramów, a $\Psi$ zachowuje granice (początki) diagramów.

Twierdzenie Freyda o istnieniu funktora sprzężonego

W przypadku kategorii zupełnych powyższe własności funktora $\Psi$ są niemal warunkami dostatecznymi na istnienie lewego sprzężonego do $\Psi .$

Twierdzenie Freyda. Załóżmy, że ${\mathfrak {B}}$ jest kategorią zupełną i lokalnie małą. Na to, by funktor $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, by $\Psi$ zachowywał granice diagramów oraz spełniał tzw. warunek zbioru rozwiązującego.

Warunek ten, dość skomplikowany, jest spełniony przez większość typowych kategorii. Wystarczy np. by kategoria ${\mathfrak {B}}$ miała separator, tzn. obiekt $S$ taki, że każdej pary morfizmów $\varphi \colon B_{1}\to B_{2},$ $\psi \colon B_{1}\to B_{2},$ $\varphi \neq \psi$ istniał morfizm $\xi \colon B_{2}\to S$ taki, że $\xi \varphi \neq \xi \psi$ (takim obiektem $S$ jest np. ciało skalarów w $\mathbf {Vect_{K}}$ oraz przedział [0,1] w $\mathbf {Comp}$).

Dalsze przykłady funktorów sprzężonych

Pary funktorów sprzężonych ujawniają się w dość nieoczekiwanych miejscach. Wymienimy niektóre z nich.

1) W każdej algebrze Heytinga $L,$ dla każdego $a\in L$ funktor $\Phi _{a}$ z $L$ w $L$ o przyporządkowaniu obiektowym $\Phi _{a}(b)=a\wedge b$ jest lewym sprzężonym funktora $\Psi _{a}$ o przyporządkowaniu obiektowym $\Psi _{a}(b)=a\to b.$

2) Niech $\mathbf {I} \colon {\mathfrak {A}}\to \mathbf {1}$ oznacza jedyny funktor z danej kategorii ${\mathfrak {A}}$ do kategorii $\mathbf {1}$ utworzonej ze zbioru jednoelementowego $1$ i jego identyczności $\mathbf {i} _{1}\colon 1\to 1.$ Istnienie funktora $\Lambda \colon \mathbf {1} \to {\mathfrak {A}}$ lewego sprzężonego do $\mathbf {I}$ jest równoważne istnieniu obiektu początkowego w ${\mathfrak {A}},$ a istnienie funktora $\Gamma \colon \mathbf {1} \to {\mathfrak {A}}$ prawego sprzężonego do $\mathbf {I}$ jest równoważne istnieniu obiektu końcowego w ${\mathfrak {A}}$.

3) Symbolem $\mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})$ oznaczmy kategorię, w której obiektami są formuły $\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})$ języka logiki pierwszego rzędu, a morfizmami

$\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})\vdash \psi (x_{1},\dots ,x_{n})$

są wynikania. Oczywiste zanurzenie $\mathbf {I} \colon \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})\to \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n},y),$ w którym $y$ nie jest zmienną wolną w $(x_{1},\dots ,x_{n}),$ jest funktorem. Z reguł rachunku kwantyfikatorów wynika, że funktor $\exists _{y}\colon \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n},y)\to \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})$ jest lewym sprzężonym funktora $\mathbf {I} ,$ a funktor

$\forall _{y}\colon \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n},y)\to \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})$

jest prawym sprzężonym funktora $\mathbf {I}$.

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. T. 45. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].