Granica odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa[1]. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza[2][3].

Definicja[edytuj]

Rodzinę nazywamy systemem odwrotnym, gdy

  • jest zbiorem skierowanym przez relację ,
  • dla każdego , jest obiektem ustalonej kategorii ,
  • dla wszystkich o tej własności, że jest morfizmem w kategorii ,
  • dla wszystkich , jeżeli , to
  • dla każdego , .

System odwrotny , w którym jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór pisząc po prostu ). Przekształcenia nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego S. Element

nazywa się nicią w systemie odwrotnym S, jeżeli

dla wszystkich o tej własności, że . Granicą odwrotną systemu odwrotnego S nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów ) i oznacza przez

.

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznych[edytuj]

Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto:

  • granica systemu odwrotnego przestrzeni Hausdorffa jest podzbiorem domkniętym produktu tych przestrzeni, a więc na mocy twierdzenia Tichonowa, granica systemu zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą Hausdorffa.
  • granica systemu odwrotnego przestrzeni typu Ti jest przestrzenią typu Ti dla i≤ 3½.
  • granica systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta.
  • granica systemu odwrotnego przestrzeni zero-wymiarowych Lindelöfa nie musi być przestrzenią zero-wymiarową[4].
  • bazą granicy odwrotnej systemu jest rodzina zbiorów postaci , gdzie przebiega dowolny współkońcowy podzbiór zbioru , a jest otwartym podzbiorem przestrzeni .
  • każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest granicą systemu odwrotnego zwartych przestrzeni metrycznych, przy czym wspomniane przestrzenie metryczne zwarte mogą być wybrane spośród zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych[5].
  • każde continuum jednowymiarowe jest granicą systemu odwrotnego grafów.

Bibliografia[edytuj]

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 134-141.

Przypisy

  1. Aleksandrow, Paweł: Untersuchungen über Gestalt und lage abqeschlossener Menge beliebiqer Dimension. Ann. of Math., 30 (1929). ss. 101-187.
  2. Lefschetz, Solomon: On compact spaces, Ann. of Math., 32 (1931). ss. 521-538.
  3. Lefschetz, Solomon: Algebraic topology. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 27. Nowy Jork, American Mathematical Society, 1942.
  4. Charalambous, Michael George: An example concerning inverse limit sequences of normal spaces. "Proceedings of the American Mathematical Society" 78 (1980). ss. 605-607. [1]
  5. Shiraki, Mitsunobu: Compact Hausdorff spaces and inverse limit systems. Rep. Fac. Sci., Kagoshima Univ. (Math. Phys. Chem.) No. 3, (1970). ss. 1-2. [2]