Grupa odbić

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa odbićdyskretna grupa odwzorowań generowana przez symetrie względem hiperpowierzchni przestrzeni euklidesowej lub przestrzeni hiperbolicznej lub innej jednospójnej przestrzeni Riemanna o stałej krzywiźnie.

Historia pojęcia[edytuj | edytuj kod]

U źródeł tego pojęcia były badania wielokątów foremnych i parkietaży na płaszczyźnie i na sferze. W drugiej połowie XIX wieku badania te były rozszerzone na przypadek n-wymiarowy oraz na płaszczyznę hiperboliczną (w związku z badaniami nad analizą zespoloną). W latach 1925-27 w pracach H. Weyla i E. Cartana grupy odbić pojawiły się jako grupy Weyla półprostych grup Lie. Potem udowodniono, że grupy Weyla to są te grupy odbić w , które mają dokładnie jeden punkt stały i można je w pewnej bazie zapisać za pomocą macierzy całkowitoliczbowych, a afiniczne grupy Weyla to dokładnie te grupy odbić w , które mają ograniczony wielościan fundamentalny. W roku 1934 H. S. M. Coxeter znalazł wszystkie grupy odbić przestrzeni euklidesowej i sfery n-wymiarowej .

Podstawowe wyniki teorii grup odbić[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia ri względem hiperpowierzchni Hi, ograniczających wielościan fundamentalny P tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:
    1. jeśli ściany i przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy , to , gdzie ,
    2. jeśli ściany i nie przylegają do siebie, to .
  • Każda grupa odbić w jest (jako grupa ruchów) iloczynem prostym grupy trywialnej w przestrzeni euklidesowej pewnego wymiaru i grup ruchów dwóch następujących typów:
    1. skończona grupa odbić, której wielościanem fundamentalnym jest stożek symplicjalny; można ją rozpatrywać jako grupę odbić na sferze o środku w wierzchołku stożka fundamentalnego; jej wielościanem fundamentalnym będzie wtedy sympleks sferyczny.
    2. nieskończona grupa odbić, której wielościanem fundamentalnym jest sympleks.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Coxeter H. S. M.. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588-621, 1934. 
  2. Coxeter H. S. M., Moser W. O. J.: Generators and Relations for discrete Groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.