Grupa odbić
Grupa odbić – dyskretna grupa odwzorowań generowana przez symetrie względem hiperpowierzchni przestrzeni euklidesowej lub przestrzeni hiperbolicznej lub innej jednospójnej przestrzeni Riemanna o stałej krzywiźnie.
Historia pojęcia
[edytuj | edytuj kod]U źródeł tego pojęcia były badania wielokątów foremnych i parkietaży na płaszczyźnie i na sferze. W drugiej połowie XIX wieku badania te były rozszerzone na przypadek n-wymiarowy oraz na płaszczyznę hiperboliczną (w związku z badaniami nad analizą zespoloną). W latach 1925–1927 w pracach H. Weyla i E. Cartana grupy odbić pojawiły się jako grupy Weyla półprostych grup Lie. Potem udowodniono, że grupy Weyla to są te grupy odbić w które mają dokładnie jeden punkt stały i można je w pewnej bazie zapisać za pomocą macierzy całkowitoliczbowych, a afiniczne grupy Weyla to dokładnie te grupy odbić w które mają ograniczony wielościan fundamentalny. W roku 1934 H. S. M. Coxeter znalazł wszystkie grupy odbić przestrzeni euklidesowej i sfery n-wymiarowej
Podstawowe wyniki teorii grup odbić
[edytuj | edytuj kod]- Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia ri względem hiperpowierzchni Hi, ograniczających wielościan fundamentalny P tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:
- jeśli ściany i przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy to gdzie
- jeśli ściany i nie przylegają do siebie, to
- Każda grupa odbić w jest (jako grupa ruchów) iloczynem prostym grupy trywialnej w przestrzeni euklidesowej pewnego wymiaru i grup ruchów dwóch następujących typów:
- skończona grupa odbić, której wielościanem fundamentalnym jest stożek symplicjalny; można ją rozpatrywać jako grupę odbić na sferze o środku w wierzchołku stożka fundamentalnego; jej wielościanem fundamentalnym będzie wtedy sympleks sferyczny.
- nieskończona grupa odbić, której wielościanem fundamentalnym jest sympleks.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Coxeter H.S.M. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588–621, 1934.
- Coxeter H.S.M., Moser W.O.J.: Generators and Relations for discrete Groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.