Wielokąt foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Kolejne wielokąty foremne

Wielokąt foremnywielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory[edytuj]

  • – liczba boków wielokąta foremnego;
  • – długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:

Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:

Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

gdzie

Wielokąty foremne[edytuj]

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa Grafika Liczba boków Miara kąta wewnętrznego Konstruowalny
cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny Cyclopropane-skeletal.png 3 tak
Kwadrat Square - black simple.svg 4 tak
Pięciokąt foremny Pentagon.svg 5 tak
Sześciokąt foremny Hexagon.svg 6 tak
Siedmiokąt foremny Heptagon.svg 7 nie
Ośmiokąt foremny Octagon.svg 8 tak
Dziewięciokąt foremny Nonagon.svg 9 nie
Dziesięciokąt foremny Decagon.svg 10 tak

Zobacz też[edytuj]