Wielokąt foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Kolejne wielokąty foremne

Wielokąt foremnywielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby .

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny - jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory[edytuj]

Przyjęte oznaczenia:

  • – liczba boków wielokąta foremnego;
  • – długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:

Wzory na długość boku wielokąta foremnego:

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:

Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

gdzie

Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tych wierzchołków)

Tabela wielokątów foremnych[edytuj]

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa Ilustracja Liczba boków Miara kąta wewnętrznego Konstruowalny
cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny Regular triangle.svg 3 tak
Kwadrat Regular quadrilateral.svg 4 tak
Pięciokąt foremny Regular pentagon.svg 5 tak
Sześciokąt foremny Regular hexagon.svg 6 tak
Siedmiokąt foremny Regular heptagon.svg 7 nie
Ośmiokąt foremny Regular octagon.svg 8 tak
Dziewięciokąt foremny Regular nonagon.svg 9 nie
Dziesięciokąt foremny Regular decagon.svg 10 tak

Zobacz też[edytuj]