Wielokąt foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0^\circ\ . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że  n\ -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n\ jest liczbą postaci 2^k p_1 p_2 \ldots p_s, gdzie p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_s są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory[edytuj | edytuj kod]

  • n - liczba boków wielokąta foremnego;
  • a - długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

\gamma=\pi-\frac{2\pi}{n}\,\! = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

\beta=\frac{2\pi}{n}\,\!=\frac{360^\circ}{n}

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}

Wzór na promień koła wpisanego w wielokąt foremny:

r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}

Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:

a=2\sqrt{R^2-r^2}
a=2R \operatorname{sin} \frac{\pi}{n}
a=2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{n}

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

L=n \cdot a\,

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:

S=\frac{nar}{2}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=nR^2\operatorname{sin}\frac{\pi}{n}\operatorname{cos}\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}\,\!

Wzór na długość przekątnych wielokąta foremnego:

d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},

gdzie k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,

Wielokąty foremne[edytuj | edytuj kod]

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa Grafika Liczba boków Miara kąta wewnętrznego Konstruowalny
cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny Cyclopropane-skeletal.png 3 60^\circ \ tak
Kwadrat Square - black simple.svg 4 90^\circ \ tak
Pięciokąt foremny Pentagon.svg 5 108^\circ \ tak
Sześciokąt foremny Hexagon.svg 6 120^\circ \ tak
Siedmiokąt foremny Heptagon.svg 7  128,(571428)^\circ \ nie
Ośmiokąt foremny Octagon.svg 8 135^\circ \ tak
Dziewięciokąt foremny Nonagon.svg 9  140^\circ \ nie
Dziesięciokąt foremny Decagon.svg 10 144^\circ \ tak

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]