Baza (przestrzeń liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony, niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych.


Definicja w przypadku skończonym[edytuj | edytuj kod]

Dla uproszczenia definicja została podana w przypadku bazy skończonej. Rozszerzenie do dowolnie dużej bazy jest intuicyjne.

Niech \mathbb{V} będzie przestrzenią wektorową. Układ wektorów x_1,\ldots , x_n jest bazą wtedy i tylko wtedy, gdy x_1,\ldots , x_n jest liniowo niezależny oraz wektory x_1,\ldots , x_n generują całą przestrzeń \mathbb{V}[1][2].

Twierdzenie o warunkach równoważnych na bazę przestrzeni wektorowej[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbb{V} będzie przestrzenią wektorową. Niech wektory x_1,\ldots , x_n należą do tej przestrzeni.

Następujące warunki są równoważne:

  1. x_1,\ldots , x_n to baza przestrzeni \mathbb{V};
  2. \forall_{y\in\mathbb{V}} y\mbox{ ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów } x_1,\ldots , x_n;
  3. x_1,\ldots , x_n to minimalny układ wektorów generujących \mathbb{V}
  4. x_1,\ldots , x_n to maksymalny układ liniowo niezależny[3].

Dowód[4][edytuj | edytuj kod]

Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.

1 ⇒ 2[edytuj | edytuj kod]

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje y_0, taki że:

y_0 = \xi_1 x_1 + \ldots + \xi_n x_n
y_0 = \Phi_1 x_1 + \ldots + \Phi_n x_n.

Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki korzystając z własności przestrzeni wektorowej otrzymamy, że:

0=y_0-y_0=(\xi_1 - \Phi_1)x_1 + \ldots (\xi_n - \Phi_n)x_n.

Stąd jasno wynika, że \xi_1=\Phi_1 , \ldots , \xi_n = \Phi_n (ponieważ układ x_1,\ldots x_n jest liniowo niezależny z definicji bazy), co doprowadza do sprzeczności.

2 ⇒ 3[edytuj | edytuj kod]

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go: x_1,\ldots , x_{n-1}.

Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:

x_n = \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_{n-1}x_{n-1} + 0\cdot x_n.

Możemy jednak również wektor x_n zapisać jako:

x_n= 0\cdot x_1 + \ldots + 0\cdot x_{n-1} + 1\cdot x_n.

Zauważmy jednak, że 0\neq 1. Zatem wektor x_n został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów x_1, \ldots, x_n, co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora x_n.

3 ⇒ 4[edytuj | edytuj kod]

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ x_1,\ldots , x_n jest liniowo zależny.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że x_1 = \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n.

Weźmy dowolny wektor y\in\mathbb{V}. Wtedy:

y=\alpha_1 x_1 + ... + \alpha_n x_n = \alpha_1 (\beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n)+ \alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n = (\alpha_1 \beta_2 + \alpha_2) x_2 + ... + (\alpha_1 \beta_n + \alpha_n) x_n.

Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od x_1, ..., x_n co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ v,x_1,...,x_n jest liniowo niezależny. Ponieważ układ x_1,...,x_n generuje całą przestrzeń \mathbb{V} oraz v\in\mathbb{V}, to:

v=\zeta_1 x_1 + ... + \zeta_n x_n.

Stąd wynika, że:

1\cdot v - \zeta_1 x_1 - ... - \zeta_n x_n = 0,

a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu v,x_1,...,x_n.

4 ⇒ 1[edytuj | edytuj kod]

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ x_1,\ldots , x_n nie generuje przestrzeni wektorowej \mathbb{V}.

Zatem istnieje taki wektor v, który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.

Rozważmy przypadek:

\varsigma v + \varsigma_1 x_1 + ... + \varsigma_n x_n.

Gdyby \varsigma\neq 0, to v byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.

Gdyby \varsigma = 0, to równanie uprościłoby się do postaci

\varsigma_1 x_1 + ... + \varsigma_n x_n,

co z liniowej niezależności wektorów x_1, ..., x_n, spowoduje, że \varsigma_1 = 0, ..., \varsigma_n = 0, a ponieważ \varsigma = 0, to układ v, x_1, ..., x_n byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.

Definicja ogólna[edytuj | edytuj kod]

Baza przestrzeni \mathbb{V} to maksymalny podzbiór liniowo niezależny wektorów tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni \mathbb{V} w taki sposób, aby otrzymany zbiór był liniowo niezależny[5][6][7].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowej R2. Wektor (1, 1) można przedstawić jako:
(1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) .
Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R2.
Z drugiej strony, niech B = {(1, 1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R2. Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:
(x, y) = α·(1, 1) + β·(1, 0) = (α + β, α) skąd α = y i β = xy.
Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej elementów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R2.
  • Niech c00 oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór B = {e1, e2, e3, ... } jest bazą przestrzeni c00, przy czym en jest wektorem, który na n-tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.

Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z bazą[edytuj | edytuj kod]

Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V. Ponieważ każdy element vV może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy B,

v = f1(x1) x1 + ... + fn(xn) xn,

gdzie f1(x1), ..., fn(xn) ∈ F oraz x1, ..., xnB, więc dla każdego xB odwzorowanie fx: VF

fx(v) = współczynnik stojący przy x w zapisie v jako kombinacji liniowej elementów z B

jest liniowe (formalnie, fx(v) = 0, gdy x nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwozorwania fx (xB) są elementami przestrzeni sprzężonej V* i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą B. Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni V* wtedy i tylko wtedy, gdy V jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy B jest zbiorem skończonym.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Współrzędnymi wektora v = (-3, 4) w bazie B = {(1, 1), (1, 0)} przestrzeni V = R2 są liczby f(1, 1)(v) = 4 oraz f(1, 0)(v) = -7.

Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha[edytuj | edytuj kod]

Niech V będzie przestrzenią Banacha oraz niech B będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy V jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą Bciągłe i tworzą bazę przestrzeni V*. Gdy V jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z B jest ciągłych.

Dowód. Niech B będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha V. Wówczas zbiór B0 = {x · ||x||-1: xB} też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami B0 i B różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą - bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z B ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały fxn są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu (xn) z B. Z zupełności przestrzeni V wynika, że suma szeregu
v=\sum_{k=1}^\infty x_k 2^{-k}
należy do V. Niech (yn) będzie ciągiem sum częściowych szergu v, tj.
y_n=\sum_{k=1}^n x_k 2^{-k}\;\;(n\in\mathbb{N}).
Z ciągłości fxn wynika, że
f_{x_n}(v) = f_{x_n}(\lim_{n\to \infty} y_n) = \lim_{n\to \infty} f_{x_n}(y_n) = 2^{-n}\;\;(n\in \mathbb{N})
co prowadzi do sprzeczności bo v ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie V, tj. zbiór {fx(v): xB} jest skończony. □

Istnienie bazy[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.

Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

Andreas Blass udowodnił w 1984[8], że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Wymiar przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]

H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne[9] (krótszy dowód został podany przez H.E. Lacey'a[10]). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum[11]

Przestrzenie euklidesowe[edytuj | edytuj kod]

Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora v = (v1, v2, ..., vn) w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Orientacja bazy[edytuj | edytuj kod]

Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.94, Definicja 6.7
  2. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0; s.66, Twierdzenie 5.3.(b)
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.62, Twierdzenie 4.4
  4. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.62-63, Twierdzenie 4.4 - dowód
  5. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.62, Definicja 4.5
  6. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.94, Definicja 6.7
  7. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0; s.65-66, Definicja 5.1
  8. A. Blass, Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31-33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
  9. H. Löwig, Über die Dimension linearen Räume, Studia Mathematica, 5 (1934), 18-23.
  10. H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.
  11. G.W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945), 155-207.