Kryterium sterowania

Kryterium sterowania – kryterium określające warunek (przykładowo dodatkowy warunek nałożony na ruch robota) najczęściej dotyczący czasu, energii lub błędu sterowania, kryterium to ma postać całki (sumy) po podanym przedziale czasu.

Zestawienie indeksów jakości sterowania

Poniższa tabela zestawia typowe miary jakości regulacji (zwane też indeksami jakości, funkcjonałami kosztów), które są pewnymi przypadkami uogólnionej miary jakości danej równaniem:

J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{g(\mathbf {x} ,u,t)dt},

gdzie $g(\mathbf {x} ,u,t)$ jest funkcjonałem: stanu $\mathbf {x} ,$ sterowania $u$ i czasu $t.$

Miara jakości regulacji pokazuje jak dobrze system zachowuje się pomiędzy chwilą początkową $t_{0}$ a czasem końcowym $t_{k}.$

nazwa wskaźnika jakości regulacji	opis matematyczny
całka z kwadratu uchybu	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{e^{2}dt}$
całka z wartości bezwzględnej uchybu	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{\|e\|dt}$
całka z iloczynu czasu i kwadratu uchybu	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{(t-t_{0})e^{2}dt}$
całka z iloczynu czasu i wartości bezwzględnej uchybu	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{(t-t_{0})\|e\|dt}$
minimum energii	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{u^{2}dt}$
minimum paliwa	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{\|u\|dt}$
minimum czasu	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{dt}$
całka z kwadratu stanu i sterowania	$J(u(.))=\int _{t_{0}}^{t_{k}}{(\mathbf {x} ^{T}Q\mathbf {x} +\gamma u^{2})dt}$

Wzór ogólny i ważniejsze kryteria

J(u(.))=\min \int _{0}^{T}{{\mathcal {L}}(x,u)dt},

gdzie:

u(.)

– sterowanie, które może zależeć od różnych czynników,

{\mathcal {L}}(x,u)

– lagranżjan

{\mathcal {L}}=K-V,

gdzie:

K

– energia kinetyczna,

V

– energia potencjalna.

Przyjmuje się też ujęcie ogólne:

J=\Phi ({\textbf {x}}(t_{0}),t_{0},{\textbf {x}}(t_{k}),t_{k})+\int _{t_{0}}^{t_{k}}{\mathcal {L}}({\textbf {x}}(t),{\textbf {u}}(t),t)\,\operatorname {d} t,

w którym wyrażenia $\Phi$ i ${\mathcal {L}}$ nazywane są odpowiednio kosztem punktu końcowego i lagranżjanem (koszt punktu końcowego należy interpretować jako pożądany stan końcowy a Lagrangian jako funkcję kosztu).

Stosuje się też czasami następujący zapis:

u=\arg \min _{u}J(x(0),u),

gdzie $\arg \min$ oznacza argument minimum, to znaczy wartość argumentu, dla którego funkcja osiąga minimum.

Minimum czasowe

Stosowane, gdy ma być zminimalizowany czas (np. robot ma się przenieść do miejsca docelowego w jak najkrótszym czasie)

J(u(.))=\min \int _{0}^{T}{1dt}=\min {T}.

Minimum energetyczne

Stosowane, gdy ma być zminimalizowana energia (np. robot na wykonać operację przy użyciu jak najmniejszej ilości energii)

J(u(.))=\min \int _{0}^{T}{u^{T}(t)u(t)\,dt}.

Minimum średnio-kwadratowe

Stosowane, gdy sumarycznie układ ma otrzymać oraz „wypromieniować” jak najmniejszą ilość energii

J(u(.))=\min \int _{0}^{T}{y^{T}(t)y(t)+u^{T}(t)Ru(t)\,dt},

gdzie:

R=R^{T}>0

– macierz wagowa.

Kryterium to stosowane jest w sterowaniu minimalno-kwadratowym i pośrednio prowadzi do algebraicznych równań Riccatiego.

Korzystając z notacji normy Euklidesowej (zob. też przestrzeń unormowana):

||v||=v^{T}v=(\sum _{i=1}^{m}v_{i}^{2})^{\frac {1}{2}},

gdzie

v=[v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}]

w przypadku nieskończonego horyzontu sterowania (całkowania), kryterium to można też zapisać:

J(u(.))=\min \int _{0}^{\infty }||y(t)||^{2}+\rho ||u(t)||^{2}dt,

gdzie wyrażenie:

\int _{0}^{\infty }||y(t)||^{2}dt

odnosi się do energii regulowanego wyjścia, a wyrażenie:

\int _{0}^{\infty }||u(t)||^{2}dt

odnosi się do energii sygnału sterującego.

W sterowaniu liniowo-kwadratowym regulator minimalizuje obie energie. Jednakże zmniejszanie energii regulowanego wyjścia wymaga bardzo dużego sygnału sterującego a mały sygnał sterujący będzie prowadził do dużej wartości regulowanego wyjścia. Rola zmiennej (wagi) $\rho$ polega na określeniu zamiany pomiędzy tak określonymi, sprzecznymi celami:

Jeśli wybierze się bardzo dużą wartość $\rho$ to najbardziej efektywna metoda zmniejszenia kryterium $J$ polega na zastosowaniu małego sterowania, kosztem uzyskania dużej wartości na regulowanym wyjściu.
Jeśli wybierze się bardzo małą wartość $\rho$ to najbardziej efektywna metoda zmniejszenia kryterium $J$ polega na uzyskaniu bardzo małej wartości na regulowanym wyjściu, choćby za cenę dużej wartości na regulowanym wyjściu.

Często problem sterowania liniowo-kwadratowego definiowany jest w oparciu o nieco bardziej ogólne kryterium sterowania, które w przypadku ciągłym przybiera postać:

J=\int _{0}^{\infty }\left(x^{T}Qx+\rho u^{T}Ru\right)dt,

gdzie $Q$ i $R$ – symetryczne, dodatnio określone macierze o wymiarach odpowiednio $l\times l$ i $m\times m,$ a $\rho$ to stała dodatnia,

W przypadku dyskretnym i ze skończonym horyzontem sterowania, przy $\rho =1$ kryterium to przybiera postać:

J=\sum \limits _{k=0}^{N}\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}\right),

co z wykorzystaniem notacji normy Euklidesowej bywa często zapisywane:

J=\sum \limits _{k=0}^{N}\left(\|\mathbf {x_{k}} \|_{Q}^{2}+\|\mathbf {u_{k}} \|_{R}^{2}\right).

Kryterium z normą H-nieskończoność

W sterowaniu odpornym H-nieskończoność kryterium sterowania określa się w oparciu o normę euklidesową z $p=\infty ,$ czyli o normę H-nieskończoność:

||u||_{\infty }=\sup _{p}||u(t)||_{\infty }=\sup _{p}(\max _{i}|u_{i}(t)|).

Uwagi

Po nałożeniu dodatkowego ograniczenia na układ przystępujemy do wyznaczenia rozwiązania. Często pomocne są portrety fazowe pozwalające określić momenty w jakich ma się zmieniać sterowanie. Jednak przeważnie wymagane jest podstawienie wszystkich znanych składowych do wzoru i przekształcenie go do ostatecznej postaci (np. kryterium średnio-kwadratowe podlega takiej operacji w sterowaniu minimalno-kwadratowym).

Kryteria te brane są także pod uwagę przy praktycznym podejściu do zagadnienia. Przykładowo miminum czasu mówi nam, że robot musi maksymalnie przyspieszać. Jednakże musi się on zatrzymać w podanym miejscu, więc w pewnym momencie powinien on maksymalnie hamować. Jeśli przedstawi się to zagadnienie na wykresie, to od punktu A, zgodnie z kierunkiem ruchu, będzie szła do góry łamana przedstawiająca przyspieszenie. Z drugiej strony, od punktu B (w kierunku przeciwnym) będzie szła do góry łamana określająca jak bardzo robot mógł wyhamować na danym odcinku drogi. Obydwie łamane przetną się w pewnym punkcie. W ten sposób uzyskane zostało minimum czasu potrzebnego do pokonania zadanej drogi. Podobnie można potraktować pozostałe kryteria, a także dodać np. ograniczenie na maksymalną szybkość poruszania się.

Zobacz też